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2008-13591-1001
2008 早稲田大学 創造理工学部建築学科AO
易□ 並□ 難□
【1】 a を正の定数とする. xy- 座標平面において,曲線 x+y =a と,直線 x +y=a とで囲まれた部分を D とおく.以下の問に答えよ.
(1) D の概形を描き,その面積を求めよ.
(2) 直線 x+ y=a を軸として, D を 1 回転してできる図形の体積を求めよ.
2008-13591-1002
2008 早稲田大学 科創造理工学部建築学科AO
【2】 自然数 m , n に対して f⁡ (m,n ) を
f⁡(m ,n )= 12 ⁢{ (m+ n-1) 2+ (m- n+1) }
で定める.以下の問に答えよ.
(1) f⁡(m ,n)= 100 をみたす m , n を 1 組求めよ.
(2) a ,b ,c ,d は整数で,等式 a 2+b =c2 +d をみたすとする.不等式 -a <b≦ a ,- c<d ≦c が成り立つならば, a=c , b= d となることを示せ.
(3) 任意の自然数 k に対し, f⁡(m ,n) =k をみたす m , n がただ 1 組だけ存在することを示せ.
2008-13591-1003
【3】 f⁡(x ) はすべての実数 x において微分可能な関数で,関係式
f⁡(2 ⁢x)= (ex +1) ⁢f⁡ (x)
をみたしているとする.以下の問に答えよ.
(1) f⁡(0 )=0 を示せ.
(2) x≠0 に対して
f ⁡(x) ex -1 =f ( x2 ) e x2 -1
が成り立つことを示せ.
(3) 微分の定義を用いて f ′⁡ (0) =limh →0 ⁡ f⁡ (h) eh -1 を示せ.
(4) f⁡(x )=( ex- 1)⁢ f′ ⁡(0 ) が成り立つことを示せ.
2008-13591-1004
【4】 n 個の球と n 個の箱がある.各球を無作為にどれかの箱に入れる.すなわち各球を独立に確率 1n でどれか 1 つの箱に入れるものとする. n≧3 のとき 2 箱のみが空となる確率を p n とする.以下の問に答えよ.
(1) p3 , p4 を求めよ.
(2) n≧4 とする. 2 箱のみが空で, 1 箱に 3 個の球が入り,その他の (n -3) 箱のそれぞれに 1 個の球が入る確率 q n を求めよ.
(3) n≧5 に対し p n を求めよ.
(4) (2)で求めた q n について, limn →∞ ⁡ qn pn を求めよ.
2008-13591-1005
【5】 xyz - 座標空間において,原点を中心とする半径 1 の球面 S 上に点 N (0 ,0, 1) をとる.また 0 <θ< π をみたす θ に対し,次の 2 つの条件
をみたす S 上の動点 P , Q について,線分 PQ が通過してできる立体図形 T を考える.以下の問に答えよ.
(1) 点 P と点 Q の z 座標は等しいことを示せ.
(2) 点 P が平面 z= h 上にあるとき,線分 PQ の長さを θ と h で表せ.
(3) T を平面 z= h で切ったときの断面の概形を描き,その面積を θ と h で表せ.
(4) h のとりうる値の範囲に注意して, T の体積 V を θ で表し, θ を動かしたときの V の最大値を求めよ.