2008　南山大　センター併用2月7日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　正の定数$m$に対し，座標平面上の曲線$C:y=x^3$と直線$l:y=mx$は$x\geqq 0$の範囲で原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$で交わる．このとき，$\mathrm{A}$の座標は$\boxed{\text{ア}}$である．また，$C$上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$の間を動くとき，$\mathrm{P}$と$l$の距離が最大となる$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　不等式${\log }_{2}x+{\log }_2(10-x)<4$を解くと$\boxed{\text{ウ}}$である．また，不等式$\sin 3x+\sin 2x+\sin x>0$を$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で解くと$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$1$から$8$までの番号が$1$つずつ書かれた$8$個の球がある．これらの球を$1$つのつぼに入れてよくかき混ぜ，その中から$3$個の球を同時に取り出し，番号の小さい順に並べる．このとき，$3$個の球の番号が$1\text{，}2\text{，}3$のように連続した組合せになる確率は$\boxed{\text{オ}}$であり，$1\text{，}2\text{，}4$や$1\text{，}3\text{，}4$のように$3$個のうち$2$個だけが連続した組合せになる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　関数$f(x)=x+1$と定数$p$に対して，座標平面上の$3$つのグラフ$l:y=f(x)\text{，}{C}_1:y={\{f(x)\}}^2+p\text{，}{C}_2:y={\{f(x)\}}^3+p$を考える．ただし，$l$と$C_2$はちょうど$2$個の共有点をもち，$l$と$C_1$は共有点をもたないとする．

(1)　関数$y=f(x)-{\{f(x)\}}^3$の極値を与える$x$の値を求めよ．

(2)　$p$の値を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$の$2$個の共有点の$x$座標を$a\text{，}b$とする．ただし，$a<b$とする．このとき，$2$つの直線$x=a\text{，}x=b$と$C_1$と$l$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$があり，辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PM}}=\boxed{\text{ア}}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+3\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$が成立するとき，$▵\mathrm{PAB}$の面積$S_1\text{，}▵\mathrm{PBC}$の面積$S_2\text{，}▵\mathrm{PCA}$の面積$S_3$の比$S_1:S_2:S_3$を求めると，$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$があり，$\{b_n\}$は

$b_1<b_2<b_3<\cdots <b_n<b_{n+1}<\cdots$

を満たす．$2$つの条件

• (条件１)　$a_1=b_1$
• (条件２)　すべての正の整数$k\text{，}l$に対して，$a_k=b_l$ならば$a_{k+1}=b_{l+k}$

が成立するとき，$a_4$は$\{b_n\}$の第$\boxed{\text{オ}}$項に等しく，正の整数$m$に対して，$a_m$は$\{b_n\}$の第$\boxed{\text{カ}}$項に等しい．

【２】　正の実数$a$に対し，座標平面上に曲線$C:y=a^{4}x+\sin ax$と直線$l:y=a^{4}x$がある．

(1)　$C$と$l$の交点の$x$座標のうち，正で最小の値を$x_1$とする．$x_1$を$a$で表せ．

(2)　(1)の$x_1$に対し，$0\leqq x\leqq x_1$の範囲で，$C$と$l$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする．$V(a)$を$a$で表せ．

(3)　(2)の$V(a)$に対し，関数$y=V(a)$の増減を調べ，$y$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．