2008　南山大　経済学部Ａ・Ｂ2月10日実施MathJax

(1)　$2$次関数$y=x^2-2mx+m+2$の$y$の値が常に正となるとき，$m$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$である．また，放物線$y=x^2-2mx+m+2$が直線$y=2x-1$に接するとき，$m$の値は$\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　直線$x-3y+6=0$とのなす角が$45°$で，点$(9,3)$を通る直線の方程式は，$\boxed{\text{ウ}}$と$\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　実数$x$と$y$が$2{\log }_{16}{(x+1)}^2+{\log }_{{\displaystyle \frac{1}{4}}}(y+1)=1$を満たすとき，$-2x+y$の最小値は$\boxed{\text{オ}}$であり，そのときの$x$と$y$の値は$(x,y)=\boxed{\text{カ}}$である．

(4)　円$x^2+kx+y^2-2ky=25-2k$は，定数$k$の値にかかわらず$2$つの定点を通る．このとき，それらの定点の座標は$\boxed{\text{キ}}$である．また，円がこの$2$点を通り，その$2$点を結ぶ線分を直径とするとき，$k$の値は$\boxed{\text{ク}}$である．

(5)　$a$は$a>1$を満たす定数，$t$は$0$でない実数とする．また，$2$次関数$f(x)=ax(1-x)$は${\displaystyle \frac{f(t)}{t}}=f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{a-1}{2a}}\right)$を満たす．このとき，点$(t,f(t))$の座標を$a$を用いて表すと，$\boxed{\text{ケ}}$となる．これに加えて，$f(t)=f\left({\displaystyle \frac{a-1}{2a}}\right)$が成り立つとき，$({\displaystyle \frac{a-1}{2a}},f({\displaystyle \frac{a-1}{2a}}\left)\right)\text{，}(t,f(t))\text{，}(1,0)$および原点の$4$点を頂点とする四角形の面積は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　$p$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(\alpha )+f(\beta )$を$p$を用いて表せ．

(3)　$2$点$(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}(\beta ,f(\beta ))$を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ．また，そのグラフを描け．

(1)　$2$次関数$y=x^2-mx+m+2$の$y$の値が常に正となるとき，$m$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$である．また，放物線$y=x^2-mx+m+2$が直線$y=2x-2$と$2$点で交わり，その$2$点の距離が$2\sqrt{5}$であるとき，$m$の値は$\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$2$乗すると$4i$となる複素数$z$の値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，$z$と共役な複素数と$z$との積は$\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　原点を中心とし，半径が$2$の円がある．点$\mathrm{A}$が，点$(2,0)$を出発点として，その円の周上を$1$秒間に弧の長さ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ずつ反時計回りに移動する．このとき，$n$秒後に点$\mathrm{A}$が到達する位置の座標は$\boxed{\text{オ}}$であり，$35$秒後の点$\mathrm{A}$の位置の座標は$\boxed{\text{カ}}$である．

(4)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$の$8$人の中から役員$3$人をくじ引きで選出しようとしている．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人は，いっしょに選出された場合に限って，どちらも役員就任を拒否する．さらに$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$の$2$人についても同様とする．その他の場合に拒否する人はいないとすると，この$1$回のくじ引きで役員が決まる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．しかし，この$2$つの場合に加えて，$\mathrm{G}$と$\mathrm{H}$の$2$人はいっしょに選出されなければどちらも就任を拒否するものとすると，役員が決まる確率は$\boxed{\text{ク}}$になる．

(5)　三角形$\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とで表すと$\boxed{\text{ケ}}$である．また，辺$\mathrm{OA}$を$p:q$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$r:s$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{CD}$が$\mathrm{G}$を通り，$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{CD}$を$3:4$に内分するとき，${\displaystyle \frac{q}{p}:\frac{s}{r}}=\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　$2$つの$2$次曲線$C_1:y=(1-x)(3x-11)$と$C_2:y=(6-x)(x-2)$のそれぞれの頂点の座標を求めよ．

(2)　$k=2$のとき，関数$f$の表すグラフの概形を描け．

(3)　$k$が$2$から$3$まで変化するとき，$f(x)$の最大値を求めよ．

(1)　$r_1$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　数列$\left\{r_n\right\}$の一般項を求めよ．

(3)　$\alpha =30°$のとき，$n$個の円の面積$S_1\text{，}{S}_2\text{，}\cdots \text{，}{S}_n$の和$S$を求めよ．また，$S$が初めて${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$を上回るときの$n$の値を求めよ．

(3)　$x$の関数$g(x)={\displaystyle \frac{\log (x+2)+\log 2}{\log (x^2+x-2)}}$がある．ただし，対数の底は$10$とする．このとき，方程式$g(x)=2$の解は$x=\boxed{\text{オ}}$である．また，自然数$n$が$g\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\leqq n$という条件を満たすとき，$n$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{カ}}$である．

(4)　先生が，赤色の風船，青色の風船，黄色の風船をそれぞれ$7$本ずつ，合計で$21$本持っている．そして，これらの風船を$7$人の子どもたちに$1$本ずつ，全部で$7$本の風船を配っている．このとき，子どもたちへの風船の配り方は$\boxed{\text{キ}}$通りあり，$3$色すべての色の風船を少なくとも$1$本は配るときの配り方は$\boxed{\text{ク}}$通りある．

(5)　等式$\underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{a\sqrt{2x+1}-b}{x-2}}=\sqrt{5}$が成り立つとき，$a=\boxed{\text{ケ}}$であり，$b=\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　$C$を表す$x$の関数$y$について，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$x$と$y$を用いて表せ．

(2)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$x=1$で$C$に接する接線$l$と$C$と$y$軸とで囲まれた図形を$x$軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ．