2008　南山大　人文・総合政策Ｂ2月11日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　等式${\displaystyle \frac{2-i}{2x+y+yi}}=2+i$を満たす実数$x\text{，}y$を求めると$(x,y)=\boxed{\text{ア}}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　関数$y={\log }_{{\displaystyle \frac{1}{2}}}(x+1)+2{\log }_{{\displaystyle \frac{1}{4}}}(3-x)$の最小値を求めると$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$3$次の整式$A(x)$を$x^2+x$で割ると余りが$2x-1$であり，$x^2+2x+2$で割ると余りが$2x+1$である．このとき，$A(-1)=\boxed{\text{ウ}}$であり，$A(x)=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　座標平面上に$2$つの曲線$C_1:y=x^2+2x+1$と$C_2:y=-x^2+4x+k$がある．ただし，$k$は定数とする．$C_1$と$C_2$の共有点が$1$個のとき，$k$の値は$k=\boxed{\text{オ}}$である．また，$k=3$のとき，$C_1$と$C_2$の$2$個の共有点を結ぶ線分の中点の座標は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　円に内接する五角形$\mathrm{ABCDE}$の辺の長さは$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=2\text{，}\mathrm{BC}=3$であり，$\cos \angle \mathrm{ABC}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$である．このとき，$\mathrm{AC}$と$\mathrm{AD}$の長さを求めると$(\mathrm{AC},\mathrm{AD})=\boxed{\text{キ}}$であり，五角形$\mathrm{ABCDE}$の面積$S$を求めると$S=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$a$は$0<a<1$を満たす実数とする．座標平面上に曲線$C:y=1-x^2\text{，}$直線$l_1:y=ax+a\text{，}{l}_1$と平行で$C$と接する直線$l_2$がある．

(1)　$l_2$の方程式を求めよ．

(2)　$l_2$と平行で点$(-{\displaystyle \frac{a}{4}},a)$を通る直線を$l_3$とする．$l_2$と$l_3$の距離が${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$l_1$と$x$軸と$y$軸とで囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$不等式$x\geqq 0$の表す領域で$C$と$l_1$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，面積の和$f(a)=S_1+S_2$を$a$で表せ．

(4)　(3)の$f(a)$に対し，関数$y=f(a)$の増減を調べ，$y$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．