2008　南山大　外国語・法2月12日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　整式$A(x)=(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)+6$を考える．$s=x^2+2x$とおくとき，$A(x)$を$s$の$2$次式で表すと$A(x)=\boxed{\text{ア}}$である．また，$-3\leqq x\leqq 1$のとき，$A(x)$の最大値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　関数$y=4\sin x\cos x-2(\sin x-\cos x)+1$を考える．$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$t=\sin x-\cos x$のとり得る範囲は$\boxed{\text{ウ}}$であり，$y$の最小値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　点$O$を中心とする半径$1$の円$C$と点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{OP}=2$とする．$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線が$C$と交わる$2$点を$\mathrm{P}$から近い順に$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．$\mathrm{O}$との距離が${\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{7}}$で$\mathrm{P}$を通る直線を$1$本引き，それと$C$が交わる$2$点を$\mathrm{P}$から近い順に$\mathrm{T}\text{，}\mathrm{S}$とする．このとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{S}$の距離は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の距離は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$\sqrt{6}\text{，}{\log }_{2}5\text{，}{\displaystyle \frac{7}{3}}$を小さい順に並べると$\boxed{\text{キ}}$であり，不等式${\left({\displaystyle \frac{5^{\sqrt{6}x-1}}{2^{\sqrt{6}}}}\right)}^x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を解くと$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　座標平面上に放物線$C_1:y=x^2$と$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$がある．$\mathrm{P}$のみを$C_1$と共有する放物線$C_2:y=-x^2+ax+b$を考える．

(1)　$\mathrm{P}$における$C_1$の接線の方程式を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$をそれぞれ$t$で表せ．

(3)　$\mathrm{P}$が動くとき，$C_2$の頂点の軌跡を$D$とし，その方程式を求めよ．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{2}<t<\frac{3}{2}}$のとき，不等式$x\leqq 1$の表す領域で，(3)の$D$と$C_2$と直線$x=1$とで囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$で表せ．

(5)　(4)の$S(t)$に対し，関数$y=S(t)$の増減を調べ，$y$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．