2008　同志社大　理系学部全学部日程2月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$4$次の多項式$f(x)$を$x-1$で割ると余りが$3\text{，}x-2$で割っても$x+3$で割っても，ともに余りが$7$である．このとき，$f(x)$を$x^2-3x+2$で割ると余りは$\boxed{\text{ア}}$であり，$x^3-7x+6$で割ると余りは$\boxed{\text{イ}}$である．さらに$f(0)=-5\text{，}{f}^{\prime }(0)=-4$であれば，$f(x)=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& 3\\ 2& b\end{array}\right)$の逆行列が$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}\\ c& d\end{array}\right)$であるとき，$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}b=\boxed{\text{オ}}\text{，}c=\boxed{\text{カ}}\text{，}d=\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　半径$1$の円$O$の円周上に$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が円$O$の内部の点$\mathrm{E}$で交わるようにとる．$▵\mathrm{ABE}$と$▵\mathrm{CDE}$がそれぞれ，辺の長さ$a\text{，}b$の正三角形であるとき，次の各問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{b}{a}}=t$とするとき，$a$を$t$で表せ．

(3)　$a+b$が最大となるときの$t$の値とそのときの$a+b$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　$▵\mathrm{ABE}$と$▵\mathrm{CDE}$の面積の和の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【３】　$n$を正の整数とする．関数

$f_n(x)=\sqrt{1-{(\log x)}^n}({\displaystyle \frac{1}{e}}\leqq x\leqq e)$

で定義される曲線$C_n:y=f_n(x)$について次の各問に答えよ．

(1)　関数$y=f_n(x)$の最大値を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と$C_2$の$2$つの共有点を求めよ．

(3)　曲線$C_1$と$C_2$の，(2)で求めた$2$つの共有点の間にある部分で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．$V$の値を求めよ．

【４】　関数$f(\theta )=2+\cos 2\theta \text{，}g(\theta )=2\theta -\sin 2\theta$により，曲線$C$を

$C:x=f(\theta )\text{，}y=g(\theta )(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

と定義する．次の各問に答えよ．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\text{，}g\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$の値を求めよ．

(2)　関数$f(\theta )\text{，}g(\theta )(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$の増減をおのおの調べよ．

(3)　点$(0,0)$と点$\left(f\right({\displaystyle \frac{\pi }{3}}),g({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\left)\right)$を通る直線$l$の方程式を求めよ．

(4)　曲線$C$と直線$l$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．