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2008-14861-0301
2008 同志社大学 生命医科学部2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.
(1) a>0 とする. 2 次方程式 a ⁢x2 -6⁢ 2⁢ x+a 2-11 ⁢a+ 28=0 が相異なる実数解をもつための必要十分条件は,判別式 D ⁡(a )= ア > 0 である.すなわち,
0<a < イ または ウ <a< エ
である.また,この 2 次方程式が負の解をもつのは
オ <a< カ
のときである.
2008-14861-0302
(2) 曲線 C: x=t- 2 ,y= -t2 +4⁢ t ( 2<t <4 ) は x , y で表すと y = キ , ( ク < x< ケ ) である. C 上の点 P (a ,b) における接線の方程式は y = コ ⁢x+ サ であり,この接線と x 軸, y 軸で囲まれる三角形の面積を f ⁡(a ) とすると,
f⁡(a )= シ ,f ′⁡ (a) = ス , f″ ⁡(a )= セ > 0
であるから, f⁡(a ) は a= ソ のとき最小になる.
2008-14861-0303
【2】 xyz 空間上で点 A (0 ,1,0 ) と点 B (1 ,1+ b,c ) を結ぶ線分 AB を t :(1 -t) に内分する点を Q とする.ただし, b2 +c 2=1 , 0≦ t≦1 である.次の各問に答えよ.
(1) 点 Q の座標を求めよ.
(2) 点 Q と x 軸の距離 L ⁡(t ) を t と b で表せ.
(3) (2)で求めた距離 L ⁡(t ) の最小値を b を用いて表せ.
(4) 線分 AB が x 軸と共有点をもつように b の値を定めよ.
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【3】 平面上の ▵OAB において
OA→ =a → , OB→ =b → , | a→ |= 1 , | b→ | =2 , a →⋅ b→ =t
とする.頂角 ∠AOB の 2 等分線と辺 AB との交点を P とし, ▵OAB の内心を J , 外心を Q とする.次の各問に答えよ.
(1) OP→ を a → , b→ を用いて表せ.
(2) OJ→ を a→ , b→ , t を用いて表せ.
(3) a→ に垂直な単位ベクトルの 1 つを e → とする. e→ を a→ , b → , t を用いて表せ.
(4) OQ→ を a→ , b → , t を用いて表せ.
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【4】 関数 f n⁡( x)= xn⁢ (1 -x) n とその定積分 I n= ∫0 1⁡ fn ⁡(x )⁢d x について次の各問に答えよ.ただし, n は正の整数である.
(1) fn+ 1⁡ (x) の導関数 fn+ 1′ ⁡( x) が fn +1 ′⁡ (x) =( n+1 )⁢ fn ⁡(x )⁡ g⁡( x) をみたすとき,多項式 g ⁡(x ) を求めよ.
(2) fn+ 2⁡ (x) の第 2 次導関数 fn+ 2 ″ ⁡(x ) に対し fn+ 2 ″⁡ (x) =A n⁢ fn+ 1⁡ (x ) +Bn ⁡f n⁡ (x ) が成り立つとき,定数 An , Bn を n で表せ.
(3) (2)の An , Bn に対し, An ⁢I n+1 +B n⁢ In を求めよ.
(4) Jn =(2 ⁢n +1) !⁢ In とおく. Jn +1 を J n で表せ.
(5) In を求めよ.