2008　同志社大　生命医科学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$a>0$とする．$2$次方程式$a{x}^2-6\sqrt{2}x+a^2-11a+28=0$が相異なる実数解をもつための必要十分条件は，判別式$D(a)=\boxed{\text{ア}}>0$である．すなわち，

$0<a<\boxed{\text{イ}}\text{または}\boxed{\text{ウ}}<a<\boxed{\text{エ}}$

である．また，この$2$次方程式が負の解をもつのは

$\boxed{\text{オ}}<a<\boxed{\text{カ}}$

のときである．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　曲線$C:x=t-2\text{，}y=-t^2+4t\text{（}2<t<4\text{）}$は$x\text{，}y$で表すと$y=\boxed{\text{キ}}\text{，}\text{（}\boxed{\text{ク}}<x<\boxed{\text{ケ}}\text{）}$である．$C$上の点$\mathrm{P}(a,b)$における接線の方程式は$y=\boxed{\text{コ}}x+\boxed{\text{サ}}$であり，この接線と$x$軸，$y$軸で囲まれる三角形の面積を$f(a)$とすると，

$f(a)=\boxed{\text{シ}}\text{，}{f}^{\prime }(a)=\boxed{\text{ス}}\text{，}{f}^{″}(a)=\boxed{\text{セ}}>0$

であるから，$f(a)$は$a=\boxed{\text{ソ}}$のとき最小になる．

【２】　$xyz$空間上で点$\mathrm{A}(0,1,0)$と点$\mathrm{B}(1,1+b,c)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$b^2+c^2=1\text{，}0\leqq t\leqq 1$である．次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$と$x$軸の距離$L(t)$を$t$と$b$で表せ．

(3)　(2)で求めた距離$L(t)$の最小値を$b$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{AB}$が$x$軸と共有点をもつように$b$の値を定めよ．

【３】　平面上の$▵\mathrm{OAB}$において

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=t$

とする．頂角$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，$▵\mathrm{OAB}$の内心を$\mathrm{J}\text{，}$外心を$\mathrm{Q}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}t$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{a}$に垂直な単位ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{e}$とする．$\overrightarrow{e}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}t$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}t$を用いて表せ．

【４】　関数$f_n(x)=x^n{(1-x)}^n$とその定積分$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)dx$について次の各問に答えよ．ただし，$n$は正の整数である．

(1)　$f_{n+1}(x)$の導関数$f_{n+1}^{\prime }(x)$が$f_{n+1}^{\prime }(x)=(n+1)f_n(x)g(x)$をみたすとき，多項式$g(x)$を求めよ．

(2)　$f_{n+2}(x)$の第$2$次導関数$f_{n+2}^{″}(x)$に対し$f_{n+2}^{″}(x)=A_n{f}_{n+1}(x)+B_n{f}_n(x)$が成り立つとき，定数$A_n\text{，}{B}_n$を$n$で表せ．

(3)　(2)の$A_n\text{，}{B}_n$に対し，$A_n{I}_{n+1}+B_n{I}_n$を求めよ．

(4)　$J_n=(2n+1)!I_n$とおく．$J_{n+1}$を$J_n$で表せ．

(5)　$I_n$を求めよ．