2008　同志社大　神・経済学部2月9日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．ただし，同じ記号のついた$\boxed{}$には，同じ数または式が入るものとする．

(1)　座標平面上のベクトル$\overrightarrow{a}=(-\sqrt{3},1)$の大きさは，$\left|\overrightarrow{a}\right|=\boxed{\text{ア}}$であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{e}=(1,0)$とのなす角の大きさは$\boxed{\text{イ}}$である．$\overrightarrow{a}$と直交し，$y$成分が負の単位ベクトルは$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$である．また，$\overrightarrow{a}$とのなす角の大きさが${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$であり，$y$成分が正の単位ベクトルは$(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．ただし，同じ記号のついた$\boxed{}$には，同じ数または式が入るものとする．

(2)　$4$次方程式$x^4-4x^3+7x^2-8x+4=0$の両辺を$x^2$で割って，$t=x+{\displaystyle \frac{2}{x}}$とおけば，$t$に関する$2$次方程式$\boxed{\text{キ}}=0$を得る．この$2$次方程式を解いて$t$を求めると，$t=\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}$である．$t=\boxed{\text{ク}}$のとき，$x$は実数で$x=\boxed{\text{コ}}\text{，}\boxed{\text{サ}}$であり，$t=\boxed{\text{ケ}}$のとき，$x$は虚数で$x=\boxed{\text{シ}}\text{，}\boxed{\text{ス}}$である．

【２】　連立不等式

$y\geqq 0\text{，}x+y\leqq 4\text{，}2x+y\leqq 6\text{，}y-3x\leqq 12$

が表す領域を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$にあるとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$にあるとき，$2y-x^2$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【３】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に，$2$つの定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を$\angle \mathrm{AOB}=2\alpha (0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$であるようにとる．動点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を結ぶ短い方の弧の上にあり，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に一致しないとする．直線$\mathrm{OP}$と円との交点のうち，$\mathrm{P}$以外のものを$\mathrm{Q}$とおき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とおく．$\angle \mathrm{ARP}=\theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\beta =\angle \mathrm{APQ}$とおく．$\angle \mathrm{PQB}$を$\theta \text{，}\beta$を用いて表せ．

(2)　$\beta$を$\alpha \text{，}\theta$を用いて表せ．

(3)　$\theta$のとり得る範囲を$\alpha$を用いて表せ．

(4)　$▵\mathrm{APQ}$の面積を$\alpha \text{，}\theta$を用いて表せ．

(5)　四角形$\mathrm{APBQ}$の面積$S$を$\alpha \text{，}\theta$を用いて表せ．

(6)　$S$の最大値を$\alpha$を用いて表せ．