2008　同志社大　理工学部2月10日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+3\cdot 2^n-1\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定める．さらに，数列$\{b_n\}$を

$b_n={\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}(a_n-1)$

によって定めると，$\{b_n\}$は初項$b_1=\boxed{\text{ア}}\text{，}$公差$\boxed{\text{イ}}$の等差数列である．したがって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$xy$平面上に原点を中心とする楕円$E$がある．その長軸は$x$軸上にあり，長さ$2a\text{，}$短軸は長さ$2b$である（$a>b$）．楕円$E$の方程式は$\boxed{\text{エ}}$である．$E$上の$3$点$\mathrm{A}(-a,0)\text{，}\mathrm{B}(0,-b)\text{，}\mathrm{P}(p,q)$がつくる$▵\mathrm{ABP}$の辺$\mathrm{AB}$を底辺とするときの高さを$p\text{，}q$で表すと$\boxed{\text{オ}}$であるから，$▵\mathrm{ABP}$の面積を$S$とすると，$S=\boxed{\text{カ}}$である．したがって，$S$は$(p,q)=(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}})$のときに最大であり，最大値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　実数$x$に対し，無限等比級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{{(x^2+x+1)}^k}}$について次の各問に答えよ．

(1)　この等比級数が収束するような$x$の値の範囲を$D$とする．$D$を求めよ．

(2)　$D$の範囲にある$x$に対するこの等比級数の値を$f(x)$とするとき，$D$で定義される関数$f(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　自然数$n\geqq 2$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=1\text{，}x=n$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$S_n$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　$xy$平面上で，$x$軸に関する対称移動を表す行列を$A$とし，原点を中心とする角$\theta$の回転移動を表す行列を$P$とする．次の各問に答えよ．

(1)　原点のまわりに$-\theta$だけ回転した後，$x$軸に関して対称移動することにより，点$(x,y)$が点$(x^{\prime },y^{\prime })$に移動する．このとき，$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$をみたす行列$B$を$A$と$P$を用いて表せ．

(2)　直線$y=(\tan \theta )x(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$に関する対称移動を表す行列を$Q$とする．$Q$を$A$と$P$を用いて表せ．

(3)　直線$y=(\tan \theta )x$に関する対称移動により点$(x,y)$が点$(x^{″},y^{″})$に移動し，$x^{″}={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{″}\text{，}{y}^{″}={\displaystyle \frac{1}{2}}{y}^{″}$とする．このとき，$\left(\begin{array}{c}{x}^{‴}\\ y^{‴}\end{array}\right)=R\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$をみたす行列$R$を$Q$を用いて表せ．また，$R^2$を求めよ．

(4)　点${\mathrm{P}}_1=(a_1,b_1)$に対して，点${\mathrm{P}}_i=(a_i,b_i)\text{（}i=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$\left(\begin{array}{c}{a}_{i+1}\\ b_{i+1}\end{array}\right)=R^2\left(\begin{array}{c}{a}_i\\ b_i\end{array}\right)\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定めると，点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$が一つの直線上にあることを示せ．

(5)　線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$の長さを$l_i$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{l}_i$を$l_1$で表せ．

【４】　関数$f(x)=2\cos (\pi x)+3\pi x^2$についての次の各問に答えよ．

(1)　$\tan (\pi x)>\pi x$が$0<x<{\displaystyle \frac{1}{3}}$で成り立つことを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\sin (\pi x)}{x}}$が$0<x<{\displaystyle \frac{1}{3}}$で減少することを示せ．

(3)　$g(x)={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{x}}$とする．$g(x)$が$0<x<{\displaystyle \frac{1}{3}}$で増加することを示せ．

(4)　$\underset{x\to 0}{\lim }g(x)\text{，}g\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)\text{，}g\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$の値をそれぞれ求めよ．

(5)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．