2008　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】　$a>0$とする．関数

$f(x)=ax{e}^{-a{x}^2}$

を微分すると，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ア}}$である．$f(x)$は$x=\boxed{\text{イ}}$で極小値をとり，極大値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

　$a=\boxed{\text{エ}}$のとき，$f(x)=a$を満たす$x$は，ただ$1$つ存在する．

　曲線$y=f(x)$と直線$y=x$が原点以外の共有点をもつとき，$a$の範囲は$\boxed{\text{オ}}$である．このとき，曲線$f(x)$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S$とすると，

$S=\boxed{\text{カ}}$

であり$\underset{a\to \infty }{\lim }S=\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　以下の$\boxed{\text{ク}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$は$t$の式で答えよ．

(1)　$t=\sin \theta$とすると

$\cos 4\theta =\boxed{\text{ク}}\text{，}\sin 4\theta =\boxed{\text{ケ}}\cos \theta \text{，}\sin 5\theta =\boxed{\text{コ}}$

である．

(2)　多項式$\boxed{\text{コ}}-1$を因数分解すると

$\boxed{\text{コ}}-1=(t-1){(\boxed{\text{サ}})}^2$

である．$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{10}}$のとき$\sin 5\theta =1$であるから，$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{10}}=\boxed{\text{シ}}$である．

(3)　$\cos 4\theta =\sin \theta$を満たす$\theta$を求めよう．$t=\sin \theta$とおき，$\boxed{\text{ク}}-t=0$を解いて$t=\boxed{\text{ス}}$を得る．これより，$0<\theta <\pi$の範囲で$\cos 4\theta =\sin \theta$を満たす$\theta$は，

$\theta =\boxed{\text{セ}}$

であることがわかる．

【３】　$a$を実数とする．$xy$平面において$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は放物線$y=ax-x^2$上の異なる$2$点とする．点$\mathrm{P}$における放物線の接線と，点$\mathrm{Q}$における放物線の接線の交点を$\mathrm{R}$とし，$▵\mathrm{PQR}$の面積を$S$とする．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p\text{，}q$とする．$\mathrm{P}$における放物線の接線の方程式は$y=\boxed{\text{ソ}}$であり，

$\mathrm{R}$の座標は$(\boxed{\text{タ}},\boxed{\text{チ}})\text{，}S=\boxed{\text{ツ}}$

である．

(2)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はともに原点と異なり，さらに$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における放物線の法線の交点が原点に一致するという．このとき$a$の範囲は$\boxed{\text{テ}}$であり，$a$を用いて

$\mathrm{R}$の座標は$(\boxed{\text{ト}},\boxed{\text{ナ}})\text{，}S=\boxed{\text{ニ}}$

と表される．

【４】　$N$を$3$以上の自然数とする．長さ$2N$のひもがあり，長さ$1$で等間隔に$2N+1$個の目印がついている．ただし両端の$2$つの目印は黒色で，他の目印は白色とする．白色の目印から$2$つ選びこれを$2$頂点，両端の黒色の目印を重ね合わせてこれを$3$つ目の頂点とする三角形をつくりたい．（白色の目印の選び方によっては三角形ができないこともある．）

(1)　$N=3$のとき，$2$つの白色の選び方は全部で$\boxed{\text{ヌ}}$通りあり，このうち上に述べた方法で三角形ができるのは$\boxed{\text{ネ}}$通りである．

(2)　$N=4$のとき，$2$つの白色の目印の選び方は全部で$\boxed{\text{ノ}}$通りあり，これらが同様に確からしいとすると，三角形ができる確率は$\boxed{\text{ハ}}$である．

(3)　$2N-1$個の白色の目印に，順に$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}2N-1$と番号をつける．$2$つの白色の目印の選び方は全部で$\boxed{\text{ヒ}}$通りあり，これらは同様に確からしいものとする．$2$つ選んだ白色の目印の番号の小さい方を$X\text{，}$大きい方を$Y$とおく．三角形ができるとき，$3$辺の長さは

$\boxed{\text{フ}}\text{，}\boxed{\text{ヘ}}\text{，}\boxed{\text{ホ}}$

であり，三角形ができる確率は$\boxed{\text{マ}}$である．また$N\to \infty$のとき，この確率は$\boxed{\text{ミ}}$に収束する．