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2008-14891-0201
2008 立命館大学 薬学部A方式2月2日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 2 次関数 y= 2⁢x 2-x - 14 ⁢a 2+a のグラフを x 軸方向に -4 ,y 軸方向に b だけ平行移動させると x 軸に接する.このとき,接点の x 座標は ア となり, a を用いて b を表すと, b= イ となる.
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(2) 方程式 4x +4- x2 =2 の解は x = ウ ⁢ log2 ⁡ エ , オ ⁡ log 2⁡ カ となる.ただし エ > カ とする.
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(3) 中心が点 ( キ , ク ) , 半径が 4 の円 C 1 の方程式は
x2 +y2 +6⁢ x+2 ⁢y+ ケ =0
となる.
(4) (3)での円 C 1 と,中心が点 (2 ,1) , 半径が 3 である円 C 2 の共有点を通る直線の方程式は
y= コ ⁢ x+ サ
となり,この共有点と点 (3 ,1) を通る円 C 3 の方程式は
( x- シ ) 2+ ( y- ス ) 2= ( セ ) 2
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(5) 3 次関数 f ⁡(x )=x 3+a ⁢x2 +b ⁢x+ c が x =-1 と x =1 で極値をもち, f⁡( 0)=2 であるとき, a= ソ ,b = タ , c= チ となる.
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【2】 辺 AB , 辺 BC , 辺 CA の長さがそれぞれ 14 , 13 , 15 である三角形 ABC がある.
(1) 点 C から辺 AB におろした垂線の足を点 D とする.このとき,線分 AD の長さは ツ である.
(2) 三角形 ABC の面積 S 1 を求めると, S1 = テ となる.
(3) 辺 AB 上の任意の点を E , 辺 CA 上の任意の点を F としたとき,線分 AE , AF の長さをそれぞれ
で表す.また,三角形 AEF の面積を S 2 とし, S2 = 12 ⁢S 1 が成り立っているとする.このとき β の条件を α で表すと, β= ト となる.また,そのときの α の範囲は, ナ ≦α ≦ ニ となる.
(4) (3)において辺 EF の長さを, α を用いて示すと, ヌ となる.また,その最小値は ネ となり,このときの α の値は ノ となる.
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【3】 四面体 OABC が与えられており,点 H は HA→ +3⁢ HB→ +2 ⁢HC →= 0→ を満たしているとする.
(1) AH→ = ハ ⁢ AB→ + ヒ ⁢ AC → なので, 2 直線 AH と BC の交点を P とおくと, AH:HP = フ : ヘ および BP :PC= ホ : マ となる.また, ▵ABH , ▵ BCH , ▵CAH の面積をそれぞれ S1 , S 2 ,S 3 とおくと, S1 :S2 :S 3= ミ :1 : ム となる.
(2) 線分 OH を 3 :2 の比に内分する点を Q とし,直線 AQ と 3 点 O , B ,C を含む平面との交点を R とおく.このとき, OR:RP = メ : モ および AQ :QR= ヤ : ユ となる.また,四面体 ABPR と四面体 OCQR の体積をそれぞれ V1 , V2 とおくと, V1: V2 = ヨ : ラ となる.
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【4】 表の出る確率が p のコイン 1 枚を考える.ただし, 0<p <1 とする.
(1) このコインを投げ続けるとき, k 回目に初めて表が出る確率は リ となる.また k 回の試行で表が少なくとも 1 回出る確率は ル となる.
(2) このコインを n 回投げ続ける. k 回目に初めて表が出れば k 点得られるゲームを行う.ただし, n 回続けて裏が出た場合は,点数は得られないものとする.このとき,獲得する点数の期待値を En とおくと, En = レ となる. E2 は p = ロ のとき最大になり, E3 は p = ワ のとき最大になる.