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2008 立命館大学 薬学部A方式2月2日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(1)  2 次関数 y= 2x 2-x - 14 a 2+a のグラフを x 軸方向に -4 y 軸方向に b だけ平行移動させると x 軸に接する.このとき,接点の x 座標は となり, a を用いて b を表すと, b= となる.

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【1】

(2) 方程式 4x +4- x2 =2 の解は x = log2 log 2 となる.ただし > とする.

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【1】

(3) 中心が点 ( , ) 半径が 4 の円 C 1 の方程式は

x2 +y2 +6 x+2 y+ =0

となる.

(4) (3)での円 C 1 と,中心が点 (2 ,1) 半径が 3 である円 C 2 の共有点を通る直線の方程式は

y= x+

となり,この共有点と点 (3 ,1) を通る円 C 3 の方程式は

( x- ) 2+ ( y- ) 2= ( ) 2

となる.

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【1】

(5)  3 次関数 f (x )=x 3+a x2 +b x+ c x =-1 x =1 で極値をもち, f( 0)=2 であるとき, a= b = c= となる.

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【2】 辺 AB BC CA の長さがそれぞれ 14 13 15 である三角形 ABC がある.

(1) 点 C から辺 AB におろした垂線の足を点 D とする.このとき,線分 AD の長さは である.

(2) 三角形 ABC の面積 S 1 を求めると, S1 = となる.

(3) 辺 AB 上の任意の点を E CA 上の任意の点を F としたとき,線分 AE AF の長さをそれぞれ

で表す.また,三角形 AEF の面積を S 2 とし, S2 = 12 S 1 が成り立っているとする.このとき β の条件を α で表すと, β= となる.また,そのときの α の範囲は, α となる.

(4) (3)において辺 EF の長さを, α を用いて示すと, となる.また,その最小値は となり,このときの α の値は となる.

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【3】 四面体 OABC が与えられており,点 H HA +3 HB +2 HC = 0 を満たしているとする.

(1)  AH = AB + AC なので, 2 直線 AH BC の交点を P とおくと, AH:HP = : および BP :PC= : となる.また, ABH BCH CAH の面積をそれぞれ S1 S 2 S 3 とおくと, S1 :S2 :S 3= :1 : となる.

(2) 線分 OH 3 :2 の比に内分する点を Q とし,直線 AQ 3 O B C を含む平面との交点を R とおく.このとき, OR:RP = : および AQ :QR= : となる.また,四面体 ABPR と四面体 OCQR の体積をそれぞれ V1 V2 とおくと, V1: V2 = : となる.

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【4】 表の出る確率が p のコイン 1 枚を考える.ただし, 0<p <1 とする.

(1) このコインを投げ続けるとき, k 回目に初めて表が出る確率は となる.また k 回の試行で表が少なくとも 1 回出る確率は となる.

(2) このコインを n 回投げ続ける. k 回目に初めて表が出れば k 点得られるゲームを行う.ただし, n 回続けて裏が出た場合は,点数は得られないものとする.このとき,獲得する点数の期待値を En とおくと, En = となる. E2 p = のとき最大になり, E3 p = のとき最大になる.

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