2008　立命館大　文系学部2月3日実施MathJax

【１】

(1)　$a_1=5\text{，}{a}_{n+1}=3a_n+5\cdot 3^n$で表される数列$\{a_n\}$の一般項を求めよう．$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{3^n}}$とすると，$b_{n+1}-b_n=\boxed{\text{ア}}$であるから，数列$\{b_n\}$は初項が$\boxed{\text{イ}}$で公差が$\boxed{\text{ウ}}$の等差数列である．したがって，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{エ}}$である．ゆえに，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{オ}}$となる．

【１】

(2)　関数$y=a{x}^3+b{x}^2+cx+9$は，$x=0$における微分係数が$-3$で，$x=3$のとき極小値$0$をとる．このとき，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}b=\boxed{\text{キ}}\text{，}c=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】

(3)　ある投資家は，年度の初めに$100$社の企業から無作為に$1$社を選んで投資を行っている．年度末には$100$社のうち，$\text{「}\mathrm{A}\text{」，}\text{「}\mathrm{B}\text{」，}\text{「}\mathrm{C}\text{」}$の$3$ランクに認定される企業はそれぞれ$30$社，$40$社，$30$社であり，その$1$社から得られる利益はそれぞれ$3$万円，$2$万円，$1$万円となる．この投資家が$\text{「}\mathrm{A}\text{」}$ランクの企業を選出する確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，得られる利益の期待値は$\boxed{\text{コ}}$万円である．

【２】　ある会社がボールペンを生産している．ボールペンを$x$だけ生産するのに要する費用は$x^2+240x+b$とする．また，ボールペンの生産量は工場の生産能力の限界により，$120$に制限されている．ボールペンの販売単価を$p$とし，生産されたボールペンは全て販売されるものとする．

(1)　利益（$=\text{販売総額}-\text{費用}$）を$x$の関数$f(x)$で表すと$f(x)=-{\{x-(\boxed{\text{サ}})\}}^2+{(\boxed{\text{サ}})}^2-b$となる．

　$0\leqq x\leqq 120$の範囲において$f(x)$の最大値とボールペンの販売単価の関係を考える．$p\leqq \boxed{\text{シ}}$のとき利益を最大にする$x$の値はゼロであり，そのときの$f(x)$の値は$-b$である．

(2)　$\boxed{\text{シ}}\leqq p\leqq \boxed{\text{ス}}$のとき利益を最大にする$x$は$\boxed{\text{サ}}$であり，そのときの利益は${(\boxed{\text{サ}})}^2-b$である．また，$\boxed{\text{ス}}\leqq p$のとき利益を最大にする$x$は$\boxed{\text{セ}}$であり，そのときの利益は$\boxed{\text{ソ}}$である．

(3)　ボールペンの販売単価が$300$のとき最大利益が$800$であったとする．このときボールペンの生産量は$\boxed{\text{タ}}$であり，$b=\boxed{\text{チ}}$であることがわかる．

【３】(1)　$\overrightarrow{a}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )\text{，}\overrightarrow{b}=(\cos \beta ,\sin \beta )$とし，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta \text{（}=\alpha -\beta \text{）}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を利用して，次の余弦の加法定理$\text{①}\text{，}\text{②}$を証明せよ．

• $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \cdots \text{①}$
• $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \cdots \text{②}$

(2)　(1)を用いて$\cos 3\alpha$を$\cos \alpha$の多項式で表せ．

(3)　(2)で求めた多項式において，$\cos \alpha =x$とおくとき，この多項式を$T(x)$とする．このとき，関数$y=T(x)$が極値をとる$x$は，$3$次方程式$T(x)=0$の解の間に$1$つずつ存在し，極大値は$1\text{，}$極小値は$-1$であることを示せ．