2008 立命館大 理系学部A方式2月6日実施MathJax

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2008 立命館大学 理工学部,情報理工学部,生命科学部A方式2月6日実施

易□ 並□ 難□

【1】  0<b <a とする. xy 平面において楕円

x2 a2 +y 2b 2 =1

上に点 P (a cos θ,b sin θ) をとる.ただし 0 <θ< π2 とする.点 P における楕円の接線の傾きは である.点 P における楕円の法線が x 軸と交わる点を Q y 軸と交わる点を R とすると,

Q x 座標は R y 座標は

であり,

PQ= PR

である.また OQR O は原点)の面積を S とすると,

S=

である.

  θ 0< θ< π2 の範囲を動くとき, S 及び QR のとり得る値の範囲は

0<S <QR<

である.

2008 立命館大学 理工学部,情報理工学部,生命科学部A方式2月6日実施

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【2】  a を実数とし, x 3 次多項式 f (x )

f( x)= x3 +(a -4) x 2- (a+ 8) x-2 a+ 24

とする.

(1)  a がどのような実数であっても f ( )=0 である.また, a がどのような実数であっても f ( ) 0 である.

(2)  a= のとき, f( x)= 0 2 重解 をもつ.(ただし, t f (x )=0 2 重解であるとは, f( x) (x-t )2 で割り切れることである.)このとき残りの解は である.

(3)  x=-1 において f (x ) が極値をとるとき, a= であり,このとき f (x ) の極小値は である.

(注: にはすべて a を含まない数値を記せ.)

2008 立命館大学 理工学部,情報理工学部,生命科学部A方式2月6日実施

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【3】  m n を自然数とする.

(1) 

0 1 xm (1 -x) dx =

である.

I(m ,n)= 0 1 xm ( 1-x )n dx

とすると, n2 のとき

I(m ,n) = I( m+1 ,n-1 )

である. より, I( m,n ) m n だけを用いて

I( m,n ) =

と表される.

(2) 数列 {a n}

an = 0 π 2 (1- sint )n sin 2t dt

で定めると, an = である.また,

である.

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【4】 座標空間において,点 P (a ,b,2 ) と点 Q (c ,d,1 ) を結ぶ直線上の点 R (x ,y, z) は, t を媒介変数として, t 1 次式

x= y= z=

で表される.ただし, t=0 のとき R P に一致し, t=1 のとき R Q に一致するように t を選ぶものとする. R x y 平面上にあるのは t = のときであり,このとき R の座標は ( , ,0 ) である.

 点 P (a ,b, 2) を固定して,点 Q が,平面 z =1 上で点 (0 ,0, 1) を中心とする半径 1 の円周およびその内部全体を動くとき,直線 PQ xy 平面の交点全体がつくる図形 D (P ) は, xy 平面上で点 ( , ,0 ) を中心とする半径 の円周およびその内部全体である.

 点 P が動くと,それにともなって図形 D (P ) も移動する.点 P が,点 (- 1,0 ,2) と点 (1 ,0, 2) を結ぶ線分全体を動くとき, D( P) が通過する点全体のつくる図形の面積は である.また点 P が,平面 z =2 上で点 (0, 0,2 ) を中心とする半径 3 の円周全体を動くとき, D( P) が通過する点全体のつくる図形の面積は である.

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