2008 立命館大 理系学部後期3月2日実施MathJax

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2008 立命館大学 理工学部,情報理工学部,生命科学部後期3月2日実施

易□ 並□ 難□

【1】  1 から 10 までの数字を 1 つずつ書いた 10 枚のカードが箱に入っている.箱から無作為に 1 枚のカードを取り出し,それを戻さずに順次カードを無作為に取り出すこととする. 1 枚のカードを取り出す操作を n (ただし, n10 )回繰り返す. i 回目に取り出したカードの数字を x i とする.

(1)  n=2 のとき, x1 >x2 となる確率は である.

(2)  n=3 のとき, x1 >x2 >x 3 となる確率は である.

(3)  n=2 のとき, x1 >x2 であれば報酬 x 1+ x2 を受け取り, x1 <x 2 であれば報酬は 0 とする.

(a)  x1 =k のとき,報酬を受け取ることのできる x 2 の場合の数は 通りある.このときの報酬の合計は である.

(b)  x1 x2 のすべての組み合わせに対する報酬の合計は である.

(c) 報酬の期待値は である.

2008 立命館大学 理工学部,情報理工学部,生命科学部後期3月2日実施

易□ 並□ 難□

【2】  x y の多項式

P=2 y3+ 3a x y2- 2a 2 x2 y+5 ay 2-4 a2 x y+2 a3 x2 -4 a2 y+ a3 x- 3a 3

x について整理し,各係数を因数分解すると

P= x 2+ x+

となる.したがって, a 0 と異なる実数の定数であるとき,方程式 P =0 は, xy 平面で相異なる 3 直線

y= y= y=

を表すことがわかる.

 この 3 直線のうち 2 本ずつの交点を x 座標の小さい方から A B C と名づけると

A( , ) B( , ) C ( , )

となる. a= のとき, ABC B を直角とする直角三角形になる.

2008 立命館大学 理工学部,情報理工学部,生命科学部後期3月2日実施

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の点 P は円 x 2+ y2= 4 の周上を反時計回りに動き,点 Q y 軸上を正の方向に動くものとする.最初の P の座標は (2 ,0) Q の座標は (0 ,1) とする. P Q 2 倍の速さで動くとすると, Q の座標が (0 ,1+ t) のとき P の座標は ( , ) である.

  t 0 t< π 2 の範囲を動くとする.このとき,原点と P Q を頂点とする三角形の面積 f (t )

f( t)=

となる.また, f (t )= であり, f ( t)= である.

  f( x) t= t0 で最大値をとるとき, (1 +t0 ) tan t0 = が成り立つ.

 さらに,

f( t)- f( 0)- tf (0) t2

t 0 の極限値は である.

2008 立命館大学 理工学部,情報理工学部,生命科学部後期3月2日実施

易□ 並□ 難□

【4】(1) 各項が自然数である等比数列 {a n} について,

a1 +a2 =9 a3 +a4 =36

であるという.このとき,この数列は初項 a1= 公比 r = であり,一般項は an= である.

(2) (1)で求めた a n を用いて作った数列 { an +2 n-4 } の和 S n を求めると

Sn= k= 1n (a k+2 k-4 )=

となる.

(3) (2)で求めた S n より,

S1 S2

を求めると となる.これを小数で表したときに小数第 n 位に表れる数を b n とする.すべての自然数 n に対して, bn +p =bn となる最小の自然数 p が存在し, p= である.このとき,小数第 48 位までに表れる数をすべて加えて得られる数を

A1= k =148 bk

とすると, A1 = である.

(4) 

2× S1 S2 3× S1 S2 4× S1 S2 5× S1 S2 6× S1 S2

に対して(3)と同じようにして得られる数の和を,それぞれ A 2 A3 A4 A5 A6 とする.このとき,

A1+ A2+ A3+ A4+ A5+ A6=

である.

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