2008　関西大　文・経済学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめて，問いに答えよ．

(1)　$x^3+y^3+1-3xy$を因数分解すれば

$x^3+y^3+1-3xy=(x+y+1)(\boxed{})$

である．

(2)　$k$は$-1$ではない実数の定数とする．$x+y=k$であるとき，$x^3+y^3-3xy+1=0$を満たす実数$x\text{，}y$があるような$k$の値と，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【２】　次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

(1)　$\sin (45°-30°)=\boxed{\text{①}}\text{，}\cos (45°-30°)=\boxed{\text{②}}$

(2)　$f(\theta )=(\sqrt{3}+1)\sin \theta +(\sqrt{3}-1)\cos \theta \text{（}0°\leqq \theta \leqq 180°\text{）}$は，三角関数の合成により

$(\sqrt{3}+1)\sin \theta +(\sqrt{3}-1)\cos \theta =\boxed{\text{③}}\sin (\theta +\boxed{\text{④}}°)$

と変形される．したがって，$f(\theta )$は$\theta =\boxed{\text{⑤}}°$のとき最大値$\boxed{\text{⑥}}$をとり，$\theta =\boxed{\text{⑦}}°$のとき最小値$\boxed{\text{⑧}}$をとる．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　放物線$C:y=x^2$上に点$\mathrm{P}(a,a^2)\text{（}a>0\text{）}$をとる．$l$は$\mathrm{P}$を通り，放物線$C$の$\mathrm{P}$における接線と垂直な直線とする．直線$l$の方程式は$y=\boxed{\text{①}}$であり，$l$とこの放物線とのもうひとつの交点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\boxed{\text{②}}$である．また，$l$とこの放物線で囲まれる図形の面積$S_1$は$S_1=\boxed{\text{③}}$である．

　点$\mathrm{Q}$を通り，$l$に垂直な直線$l^{\prime }$の方程式は$y=\boxed{\text{④}}$であり，$l^{\prime }$とこの放物線とのもうひとつの交点の$x$座標は$\boxed{\text{⑤}}$である．$l^{\prime }$とこの放物線で囲まれる図形の面積$S_2$は$S_2=\boxed{\text{⑥}}$であり，$S_1$と$S_2$の面積比$S_1:S_2=1:\boxed{\text{⑦}}$である．