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2008-14991-0401
2008 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部2月5日実施
3教科型(理科設問選択方式)
易□ 並□ 難□
【1】 x>0 で定義された関数 f ⁡(x )=x ⁢( log⁡x )2 がある.ただし,対数は自然対数であり, limx →+0 ⁡x (log⁡ x)2 =0 である.
(1) 関数 f⁡ (x) の増減表を書き,極値を求めよ.
(2) y=f⁡ (x) のグラフの変曲線の座標を求めよ.
(3) 不定積分 ∫⁡x ⁢log⁡ x⁢dx を求めよ.
(4) (2)で求めた変曲点を通って y 軸に平行な直線 l の右側にあり, l と y =f⁡ (x) のグラフおよび x 軸とで囲まれた図形の面積 S を求めよ.
2008-14991-0402
2008 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部2月5日実施
【2】 O(0 ,0) を原点とする座標平面上において, 2 点 A (-2 ,1) ,B (4 ,3) を結ぶ線分 AB を 3 :1 に内分する点 C を通り,直線 AB に垂直な直線を l とする.次の をうめよ.
(1) l の方程式は y = ① である.
(2) l に関して, y 軸と対称な直線の方程式は y = ② である.
(3) l 上に中心があり,半径が 5 の円で,直線 AB から切り取る線分の長さが 3 ⁢10 であるもののうち,中心が直線 AB の上側部分にある円の中心の座標は ③ である.
(4) (3)で求めた中心を原点 O に移し,かつ,点 B を点 A に移す 1 次変換を表す行列は ④ である.
2008-14991-0403
【3】 三角形 ABC の外接円の中心は O で,その半径は 3 である.また,関係式 24 ⁢OA →+ 9⁢ AB→ =8⁢ BC→ が成り立っている. OA→ =a → , OB→ =b → , OC →= c→ とおくとき,次の をうめよ.ただし, a→ ⋅ b→ はベクトル a→ , b → の内積を表す.
(1) b→ を a→ , c→ を用いて表すと, b→ = ① である.
(2) c→ ⋅ a→ = ② であり,三角形 OCA の面積は ③ である.
(3) a→ ⋅ b→ = ④ ,b →⋅ c→ = ⑤ である.
(4) 三角形 ABC の面積は ⑥ である.
2008-14991-0404
2008 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部学部2月5日実施
【4】 次の をうめよ.
(1) 1 個のさいころを 3 回投げるとき,出た目の数の積が 9 の倍数となる確率は ① である.
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(2) 地上 xkm の位置に静止している人工衛星から地球を見ると,地球は半径が ② km の円板に見える.ただし,地球は半径が R km の球とする.
2008-14991-0406
(3) 0≦x< 2⁢π のとき, y=3 ⁢cos⁡ 2⁢x +2⁢ sin2 ⁡x- 4⁢cos ⁡x- 2 の最大値は ③ , 最小値は ④ である.
2008-14991-0407
(4) n を 2 以上の自然数とするとき, limn →∞ ⁡ (1+ 1 2⁢n ) n= ⑤ であり, limn →∞ ⁡ (2⁢ n-1) 2⁢ log⁡ { 1+ 34 ⁢n⁢ (n-1 ) }= ⑥ である.
2008-14991-0408
(5) 実数 t を媒介変数として, x= 1-t 21 +t2 , y= 4⁢t 1+ t2 で表される点 (x ,y) が満たす曲線の方程式を x , y で表すと, ⑦ である.ただし, (x, y)≠ (-1, 0) とする.