2008　関西大　理系学部2月5日実施MathJax

【１】　$x>0$で定義された関数$f(x)=x{(\log x)}^2$がある．ただし，対数は自然対数であり，$\underset{x\to \mathrm{+0}}{\lim }x{(\log x)}^2=0$である．

(1)　関数$f(x)$の増減表を書き，極値を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフの変曲線の座標を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }x\log xdx$を求めよ．

(4)　(2)で求めた変曲点を通って$y$軸に平行な直線$l$の右側にあり，$l$と$y=f(x)$のグラフおよび$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}(0,0)$を原点とする座標平面上において，$2$点$\mathrm{A}(-2,1)\text{，}\mathrm{B}(4,3)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点$\mathrm{C}$を通り，直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線を$l$とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$l$の方程式は$y=\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$l$に関して，$y$軸と対称な直線の方程式は$y=\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$l$上に中心があり，半径が$5$の円で，直線$\mathrm{AB}$から切り取る線分の長さが$3\sqrt{10}$であるもののうち，中心が直線$\mathrm{AB}$の上側部分にある円の中心の座標は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　(3)で求めた中心を原点$\mathrm{O}$に移し，かつ，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$に移す$1$次変換を表す行列は$\boxed{\text{④}}$である．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心は$\mathrm{O}$で，その半径は$\sqrt{3}$である．また，関係式$24\overrightarrow{\mathrm{OA}}+9\overrightarrow{\mathrm{AB}}=8\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立っている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$はベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の内積を表す．

(1)　$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{b}=\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=\boxed{\text{②}}$であり，三角形$\mathrm{OCA}$の面積は$\boxed{\text{③}}$である．

(3)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{④}}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\boxed{\text{⑤}}$である．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$1$個のさいころを$3$回投げるとき，出た目の数の積が$9$の倍数となる確率は$\boxed{\text{①}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　地上$xkm$の位置に静止している人工衛星から地球を見ると，地球は半径が$\boxed{\text{②}}km$の円板に見える．ただし，地球は半径が$Rkm$の球とする．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$0\leqq x<2\pi$のとき，$y=3\cos 2x+2{\sin }^{2}x-4\cos x-2$の最大値は$\boxed{\text{③}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$n$を$2$以上の自然数とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{2n}})}^n=\boxed{\text{⑤}}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }{(2n-1)}^2\log \{1+{\displaystyle \frac{3}{4n(n-1)}}\}=\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　実数$t$を媒介変数として，$x={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}\text{，}y={\displaystyle \frac{4t}{1+t^2}}$で表される点$(x,y)$が満たす曲線の方程式を$x\text{，}y$で表すと，$\boxed{\text{⑦}}$である．ただし，$(x,y)\ne (-1,0)$とする．