2008　関西大　法・社会学部2月3日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　実数$x\text{，}y$は$x^3-14+y^{2}i+51i=y^2-x+(x-y^3)i$を満たす．ただし，$i$は虚数単位である．

　$x^3+y^3$の値を求めると，$x^3+y^3=\boxed{\text{①}}$である．この式を満たす$x\text{，}y$が共に整数になる$x\text{，}y$の組は，

$(x,y)=(\boxed{\text{②}},\boxed{\text{③}})\text{，}(\boxed{\text{④}},\boxed{\text{⑤}})$

である．

　このうち，$x^3-14+y^{2}i+51i=y^2-x+(x-y^3)i$を満たす組は$(x,y)=\boxed{\text{⑥}}$である．

【２】　$a\text{，}b$を定数とする．$2$つの不等式

• (A)　${\log }_2(x^2+y^2+3)\leqq a$
• (B)　${\log }_2(x-y+b)<0$

について，次の問いに答えよ．

(1)　不等式(A)を満たす点$(x,y)$が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a$の値が(1)で求めた範囲にあるとき，不等式(A)の表す領域の面積を求めよ．ただし，不等式が表す領域が$1$点だけの時は，その面積は$0$であるとする．

(3)　$a=2$であるとき，不等式(A)の表す領域と不等式(B)の表す領域が共通部分をもつような$b$の値の範囲を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　四角形の頂点のひとつにコマを置き，コインを投げ，表が出ればコマのある頂点から時計まわりでとなりの頂点に，裏が出れば反時計回りでとなりの頂点にコマを移動させる．コインを$n$回投げたあとに，コマが出発した頂点に戻っている確率を$p(n)$とする．

$p(2)=\boxed{\text{①}}\text{，}p(3)=\boxed{\text{②}}\text{，}p(4)=\boxed{\text{③}}$

である．ただし，表が出る確率，裏が出る確率はともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつとする．

(2)　(1)と同じコインを用いて，今度は五角形に対して，(1)と同様の操作を行う．コインを$n$回投げたあとに，コマが出発した頂点に戻っている確率を$q(n)$とする．

$q(4)=\boxed{\text{④}}\text{，}q(5)=\boxed{\text{⑤}}\text{，}q(7)=\boxed{\text{⑥}}$

である．

　また，$q(n)=0$となる正の整数$n$をすべて求めると$\boxed{\text{⑦}}$である．