2008　関西大　政策総合学部2月6日実施MathJax

【１】　$0\leqq x<2\pi$の範囲で，不等式$\sqrt{3}\cos x+\sin x<-1$を解け．

【２】　放物線$y=2x^2$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は，放物線と$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線とで囲まれた図形の面積を$9$に保ちながら，放物線上を動く．$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\beta -\alpha$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点$(X,Y)$の軌跡を表す方程式を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$x$の$3$次関数$y=x^3-x^2$で表される曲線を$C$とする．$C$上の点$(a,a^3-a^2)$における接線$y=px+q$の傾き$p$と切片$q$は，$a$を用いてそれぞれ

$p=\boxed{\text{①}}\text{，}q=\boxed{\text{②}}$

と表される．ただし，$a\ne {\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．この接線と$C$との交点の$x$座標は，$x$の$3$次方程式

${(x-a)}^2(x+\boxed{\text{③}})=0$

の解である．

　$C$上の点${\mathrm{A}}_n$から，${\mathrm{A}}_n$とは異なる$C$上の点${\mathrm{A}}_{n+1}$を接点とする接線を引くことができるとき，${\mathrm{A}}_n$の$x$座標を$a_n\text{，}{\mathrm{A}}_{n+1}$の$x$座標を$a_{n+1}$とすると，$a_{n+1}$は$a_n$を用いて

$a_{n+1}=\boxed{\text{④}}$

と表すことができる．$a_1=1$であるとき，$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は$n$を用いて

$a_n=\boxed{\text{⑤}}$

と表すことができる．