2008　関西大　全学部日程文系2月7日実施MathJax

【１】　放物線$y=x^2-4x+5$と直線$y=4x-2$について，次の問いに答えよ．

(1)　$xy$平面において，$y\geqq x^2-4x+5$かつ$y\leqq 4x-2$で表される領域$D$を図示せよ．

(2)　$D$の面積を求めよ．

(3)　放物線$y=x^2-4x+5$と直線$y=4x-2$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{R}$はこの放物線上を$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$まで動く．$▵\mathrm{PQR}$の面積が$D$の面積の半分になるときの点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$は等比数列で，初項から第$3$項までの和が${\displaystyle \frac{13}{3}}\text{，}$初項から第$6$項までの和が${\displaystyle \frac{364}{3}}$である．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=\boxed{\text{①}}\text{，}$公比は$\boxed{\text{②}}$である．

(2)　$b_n={\log }_3{a}_n$とおけば，数列$\{b_n\}$は初項$b_1=\boxed{\text{③}}\text{，}$公差$\boxed{\text{④}}$の等差数列である．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの積$a_1{a}_2\cdots a_n$を$c_n$とおく．${\log }_3{c}_n$を$n$の多項式で表せば，${\log }_3{c}_n=\boxed{\text{⑤}}$であり，また，$c_n>{10}^{10}$を満たす最小の$n$は$\boxed{\text{⑥}}$である．ただし，${\log }_{10}3=0.4771$として，これを用いてもよい．

【３】　赤玉，白玉，黒玉が入っている袋の中から玉を$1$個取り出し，その色を記録して袋の中にもどし，さらに今取り出した玉と同じ色の玉を$2$個，袋の中に追加する．以上の操作を$1$回の試行とする．最初，袋の中には赤玉，白玉，黒玉がそれぞれ$1$個ずつ入っているとする．次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

(1)　この試行を$1$回行うと，どの色の玉が出たとしても，袋の中の玉の総数は$\boxed{\text{①}}$個増える．

(2)　この試行を最初から$2$回行うとき，$2$回とも赤玉が出る確率は$\boxed{\text{②}}$だから，$2$回とも同じ色の玉が出る確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(3)　この試行を最初から$3$回行う．$3$回とも同じ色の玉が出る確率は$\boxed{\text{④}}$である．また，ちょうど$2$種類の玉が出る確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．

(4)　この試行を最初から$5$回行うとき，$5$回とも同じ色の玉が出る確率は$\boxed{\text{⑥}}$である．