2008　関西大　全学部文・総合情報2月7日実施MathJax

【１】　中心が$\mathrm{O}$である半径$1$の円周上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，

$3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+4\overrightarrow{\mathrm{OB}}=5\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とで表せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

【２】　$f(x)=2({\cos }^{3}x+{\sin }^{3}x)+8\sin x\cos x$とおく．ただし，$0\leqq x\leqq \pi$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$t=\sin x+\cos x$とおく．$t$を

$t=a\sin (x+b)$

の形に変形せよ．ただし，$a>0\text{，}0\leqq b<2\pi$とする．また，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$\sin x\cos x$を$t$で表せ．

(3)　$f(x)$を$t$で表せ．

(4)　$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．

【３】　放物線$C:y=x^2+px+q$と$2$つの直線$l:y=x\text{，}m:y=-2x$がある．放物線$C$は同時に$2$つの直線$l$と$m$に接している．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　放物線$C$と直線$l$が接している条件から$q$を$p$で表すと，$q=\boxed{\text{①}}$

(2)　放物線$C$と直線$m$が接している条件から$q$を$p$で表すと，$q=\boxed{\text{②}}$

(3)　(1),(2)から$p$と$q$を求めると，

$p=\boxed{\text{③}}\text{，}q=\boxed{\text{④}}$

である．

　$C$と$l$の接点の座標は$\boxed{\text{⑤}}$であり，$C$と$m$の接点の座標は$\boxed{\text{⑥}}$である．

　$C$と$l$と$y$軸で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{⑦}}$であり，$C$と$m$と$y$軸で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{⑧}}$である．

【４】　赤カード，黄カード，青カード，それぞれ$4$枚ずつ合計$12$枚のカードがあり，それぞれの色のカードには，$1$枚ずつに$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$と数字が記入されている．この$12$枚のカードをよく混ぜて，そのうちから$3$枚のカードを同時に取り出す．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

　これら$3$枚のカードについて，

(1)　ちょうど$2$種類の色がある確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　すべて異なる数字である確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　ちょうど$2$種類の数字がある確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　最大の数字が$3$である確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$3$つの数字の和が$6$である確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．