2008　関西大　全学部日程文系2月8日実施MathJax

【１】　$x$は実数全体を動く．次の問いに答えよ．

(1)　$2^x+2^{-x+1}$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$2^x+2^{-x+1}=5$のとき，$2^x-2^{-x+1}$の値を求めよ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　放物線$y=-x^2-1$上の点$(1,-2)$における接線を$l$とする．$l$の方程式は$y=\boxed{\text{①}}$である．$a$を定数とするとき，放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+ax+2$が直線$l$に接するならば，$a$の値は$\boxed{\text{②}}$または$\boxed{\text{③}}$である．ここで，$\boxed{\text{②}}<\boxed{\text{③}}$であるとする．

• $a=\boxed{\text{②}}$のとき，$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+ax+2$が表す放物線を$C_1$とし，
• $a=\boxed{\text{③}}$のとき，$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+ax+2$が表す放物線を$C_2$とする．

　このとき，放物線$C_1$と直線$l$との接点の座標は$(\boxed{\text{④}})$であり，放物線$C_2$と直線$l$との接点の座標は$(\boxed{\text{⑤}})$である．また，$C_1$と$C_2$の交点の座標は$(\boxed{\text{⑥}})$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，定点$\mathrm{A}(1,1,-1)$と動点$\mathrm{P}(\cos t,\sin t,{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}})\text{（}0\leqq t<2\pi \text{）}$をとる．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の長さは，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\boxed{\text{①}}$であり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の長さは，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\boxed{\text{②}}$である．

　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$との内積を$t$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{③}}$であり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とのなす角$\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$が最も小さくなるのは，$t=\boxed{\text{④}}$のときである．

　また，$▵\mathrm{AOP}$の面積が最も大きくなるのは$t=\boxed{\text{⑤}}$または$t=\boxed{\text{⑥}}$のときである．ここで，$\boxed{\text{⑤}}<\boxed{\text{⑥}}$とする．