2008　関西大　総合情報学部(英数方式)2月8日実施MathJax

【１】　$n$を正の整数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$n$を$7$で割った余りが$2$または$4$であるとき，$n^2+n+1$は$7$で割り切れることを示せ．

(2)　$n>1$のとき，$n^7-n$は$42$で割り切れることを示せ．

【２】　$n$を$1$以上の整数とする．$(n+5)$枚のカードがあり，各カードには数字が$1$つずつ記入されている．$1\text{，}3\text{，}5$と書かれたカードが$1$枚ずつ，$2$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$n$枚である．これらのカードをよく混ぜて，この中から$2$枚のカードを取り出す．最初に取り出したカードの数字は$a\text{，}$続けて取り出したカードの数字は$b$であった．ただし，一度取り出したカードはもとに戻さないものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a=3$かつ$b=4$である確率を求めよ．

(2)　$b$が偶数である確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$となるように$n$の値を決めよ．

(3)　$2$桁の整数$10a+b$が$4$の倍数となる確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$となるように$n$の値を決めよ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$C$を放物線$y=4-x^2$とする．$\mathrm{A}(-2,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0)$とし，放物線$C$上に$2$点$\mathrm{P}(t,4-t^2)\text{，}\mathrm{Q}(-t,4-t^2)$をとる．ただし，$0<t<2$とする．

　台形$\mathrm{ABPQ}$の面積$S(t)$を$t$で表すと

$S(t)=\boxed{\text{①}}$

となる．$S(t)$が最大となるのは$t=\boxed{\text{②}}$で，その時の$S(t)$の値は$\boxed{\text{③}}$である．$S(t)$が最大になるとき，直線$\mathrm{PQ}$に接し，かつ点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る放物線$C^{\prime }$の方程式は

$y=\boxed{\text{④}}$

で与えられる．$C^{\prime }$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

　$▵\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2\text{，}\mathrm{BC}=1$である．$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{C}$を通る直径のもう$1$つの端の点を$\mathrm{D}$とする．直径$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{E}$とする．

　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とおくと$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\boxed{\text{①}}$であるので，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{②}}$である．

　$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{x}$とおくと，$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{a}=\boxed{\text{③}}$であるので，$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{a}=\boxed{\text{④}}$である．また，$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{⑤}}$である．

　ベクトル$\overrightarrow{x}$を実数$p\text{，}q$を用いて$\overrightarrow{x}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$と表すと

• $(p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{a}=\boxed{\text{④}}\text{，}$
• $(p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{⑤}}$

となる．このことより，$p\text{，}q$の連立一次方程式を作り，$p\text{，}q$を求めると，$p=\boxed{\text{⑥}}\text{，}q=\boxed{\text{⑦}}$である．$\mathrm{E}$は直線$\mathrm{AB}$上にあるので，

$\overrightarrow{\mathrm{CE}}=\boxed{\text{⑧}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{⑨}}\overrightarrow{b}$

である．したがって，$\mathrm{AE}:\mathrm{EB}=\boxed{\text{⑩}}:\boxed{\text{⑪}}$である．