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座標平面において,点の直交座標がであり,原点を極とし,軸の正の部分を始線とする点の極座標をとすると
(ⅰ)
である.
極方程式
(ⅱ)
で表される曲線の図形を考える.
(1) のとき(ⅱ)は
(ⅲ)
と変形される.(ⅲ)の右辺をを用いて表し,その結果得られる式の両辺を乗すると,はを用いて
(ⅳ)
と表される.(ⅰ)と(ⅳ)からはの関数として
と表されることがわかる.
(2) 極方程式で表される曲線上の点を直交座標でと表すと,ととの間にはという関係があることがわかる.
(3) つの極方程式
で表される曲線によって囲まれた図形の面積はである.
(4) のとき,(ⅱ)をとで表すと
となる.ここで,は定数で,特には正とする.このとき
である.
(5) のとき,(ⅱ)で表される図形の漸近線はである.