2008　関西大　後期日程文系3月3日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$y=\sin x$のグラフと$x$軸の$x>0$の部分との交点の$x$座標を，小さい方から順に求めていくと，$\pi \text{，}2\pi \text{，}3\pi \text{，}\cdots$という数列ができる．

(1)　$f(x)=\sin x\cos x$について，$y=f(x)$のグラフと$x$軸の$x>0$の部分との交点の$x$座標を，小さい方から順に求めてできる数列は，初項$\boxed{\text{①}}\text{，}$公差$\boxed{\text{②}}$の等差数列で，第$n$項は$\boxed{\text{③}}$と表される．

(2)　$g(x)=\sin x+\cos x$について，$y=g(x)$のグラフと$x$軸の$x>0$の部分との交点の$x$座標を，小さい方から順に求めてできる数列は，初項$\boxed{\text{④}}\text{，}$公差$\boxed{\text{⑤}}$の等差数列で，第$n$項は$\boxed{\text{⑥}}$と表される．

(3)　$y=|\sin x+\cos x|$のグラフと直線$y={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$の$x>0$の部分との交点の$x$座標を，小さい方から順に求めてできる数列の第$15$項は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　関数$f(x)=x\left|x\right|-2x$は$x=\alpha =\boxed{\text{①}}$で極大値$\boxed{\text{②}}$をとり，$x=\beta =\boxed{\text{③}}$で極小値をとる．

　$p<0$とするとき，曲線$C:y=f(x)$上の点$(p,f(p))$における接線の方程式は$y=\boxed{\text{④}}$であり，$C$とこの接線との接点以外の交点の$x$座標は$\boxed{\text{⑤}}$である．

　曲線$C$と極大値をとる点$(\alpha ,f(\alpha ))$における接線とで囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　平面上に$\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{CA}=8$であるような$▵\mathrm{ABC}$と定点$\mathrm{O}$をとり，$▵\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{P}$とする．いま，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{9}}(2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+4\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}})$

を満たしている．このとき$\mathrm{C}$と$\mathrm{P}$を結ぶ直線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて，また$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\boxed{\text{①}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{②}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

と表される．これより辺$\mathrm{AB}$は点$\mathrm{D}$によって

$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\boxed{\text{③}}$

の比に内分されていることがわかる．したがって，$\mathrm{BC}$の長さは$\boxed{\text{④}}$である．よって$\cos A=\boxed{\text{⑤}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積の値は$\boxed{\text{⑥}}$である．さらに，$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$の値は$r=\boxed{\text{⑦}}$である．