2008　関西大　後期日程総合情報学部3月4日実施MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上で点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(0,b)$をとる．ただし，$a>0\text{，}b>0$とする．線分$\mathrm{AB}$上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を直線$\mathrm{OP}\text{，}$直線$\mathrm{OQ}$が$\angle \mathrm{AOB}$を$3$等分するようにとる．ただし，$\angle \mathrm{AOP}<\angle \mathrm{AOQ}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$▵\mathrm{POQ}$の面積を$a\text{，}b$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{POQ}$の面積は，$▵\mathrm{AOB}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{3}}$倍より小さいことを示せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$であるとき，不等式

$\sin x-\cos x\geqq 0$

を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$であるとき，不等式

$4({\sin }^{3}x-{\cos }^{3}x)-5(\sin x-\cos x)\geqq 0$

を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

(1)　${\log }_4(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})+{\log }_4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})=\boxed{\text{①}}$

【３】　次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

(2)　$x>1$で$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=\sqrt{13}$であるならば，$x^3-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}=\boxed{\text{②}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

(3)　$2$直線$x+y-1=0$と$x-2y+1=0$の交点を通り，直線$5x+4y=0$に垂直に交わる直線の方程式は$y=\boxed{\text{③}}x+\boxed{\text{④}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

(4)　赤球$3$個，白球$2$個，合計$5$個の球が入った袋から，同時に$3$個の球を取り出すとき，赤球の方が白球より多い確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　放物線$C_1:y=x^2-x$と円$C_2$がある．円$C_2$は中心$\mathrm{A}$の座標が$(a,a)\text{（}a>0\text{）}$であり，かつ原点$\mathrm{O}$を通る．

　このとき，円$C_2$の方程式は$\boxed{\text{①}}$である．$C_1$と$C_2$の共有点の個数を求めるため，$C_1$と$C_2$の方程式から$y$を消去すると，$x$についての方程式は

$x^2(\boxed{\text{②}})=0$

となる．したがって，$C_1$と$C_2$の共有点の個数を$n$とすると，

• $n=1$となるための条件を$a$で表すと$\boxed{\text{③}}$，
• $n=2$となるための条件を$a$で表すと$\boxed{\text{④}}$，
• $n=3$となるための条件を$a$で表すと$\boxed{\text{⑤}}$

である．

　$n=3$であるとき，原点$\mathrm{O}$以外の共有点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とすると，直線$\mathrm{PQ}$の傾きは$\boxed{\text{⑥}}$で，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$C_2$の半径に等しいとき，$a=\boxed{\text{⑦}}$である．