2008　関西大　後期日程理系3月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて

$\{\begin{array}{l}x=\cos 2\theta -5\cos \theta \\ y=\sin 2\theta -\sin \theta \end{array}\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$

と表されているとする．このとき

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}=\boxed{\text{①}}\text{，}{\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=\boxed{\text{②}}$

である．この$2$式から

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\boxed{\text{②}}}{\boxed{\text{①}}}}$

であり，これをさらに$x$で微分すると

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}=\frac{{\displaystyle \frac{d}{d\theta }\left(\frac{dy}{dx}\right)}}{{\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}}}$

だから

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}=\frac{\boxed{\text{③}}{\cos }^3\theta -\boxed{\text{④}}\cos \theta +\boxed{\text{⑤}}}{{(\boxed{\text{①}})}^3}}$

となる．ここで，右辺の分子は

$(\boxed{\text{⑥}}\cos \theta -\boxed{\text{⑦}})(8{\cos }^2\theta +\boxed{\text{⑧}}\cos \theta -\boxed{\text{⑤}})$

のように因数分解することができ，$0<\theta <\pi$において

$\boxed{\text{①}}>0\text{，}8{\cos }^2\theta +\boxed{\text{⑧}}\cos \theta -\boxed{\text{⑤}}<0$

であるから，曲線$C$の変曲点は

$(\boxed{\text{⑨}},\boxed{\text{⑩}})$

の$1$点だけである．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　行列$P=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$の逆行列は

$P^{-1}=\boxed{(\text{①})}$

である．$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ -6& 5\end{array}\right)$とするとき

$P\boxed{(\text{②})}{P}^{-1}=A$

となる．$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$A$の$n$個の積$A^n$は

$A^n=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{③}}& \boxed{\text{④}}\\ \boxed{\text{⑤}}& \boxed{\text{⑥}}\end{array}\right)$

と表される．

${\displaystyle \frac{1}{4}}A+{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2{A}^2+\cdots +{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n{A}^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$

とおくと

$a_n=\boxed{\text{⑦}}\times \{1-{(\boxed{\text{⑧}})}^n\}-\boxed{\text{⑨}}\times \{1-{(\boxed{\text{⑩}})}^n\}$

と表される．ただし，$\boxed{\text{⑦}}\text{，}\boxed{\text{⑨}}$は正の数である．よって，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\boxed{\text{⑪}}$

である．

【３】　$1$と書かれた赤玉，青玉，白玉が$1$つずつ，$2$と書かれた赤玉，青玉，白玉が$1$つずつ，$3$と書かれた赤玉，青玉が$1$つずつ，合わせて$8$個の玉が袋の中に入っている．この袋から$3$個の玉を同時に取り出す．

　取り出した$3$個の玉について，以下の$\boxed{}$を適当な数値でうめよ．

(1)　赤玉が含まれている確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　赤玉，青玉，白玉が$1$つずつある確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　ちょうど$2$種類の色の玉がある確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　玉に書かれた数字の最大値の期待値は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　赤玉，青玉，白玉が$1$つずつあり，かつ，$1\text{，}2\text{，}3$の数字が書かれた玉が$1$つずつある確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a={\log }_{2}3\text{，}b={\log }_{3}5$とするとき，$a\text{，}b$を用いて${\log }_{10}\sqrt{3}$を表すと，$\boxed{\text{①}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　直線$y=x+k$と円${(x-{\displaystyle \frac{1}{k}})}^2+y^2=4$とが異なる$2$点で交わるような$k^2$の値の範囲は$\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　座標空間内に，$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(1,1,1)$がある．$▵\mathrm{OAC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，線分$\mathrm{GB}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}(\sin 2x){(\cos 2x)}^{5}dx$の値は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　${\displaystyle {\int }_{-1}^2}\sqrt{|x-1|}dx$の値は$\boxed{\text{⑤}}$である．