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2008-14991-1601
2008 関西大学 後期日程システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部 3月4日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の をうめよ.
曲線 C が媒介変数 θ を用いて
{ x= cos⁡2 ⁢θ- 5⁢cos ⁡θ y= sin2⁢ θ- sin⁡ θ ( 0<θ <π )
と表されているとする.このとき
d xdθ = ① , dyd θ= ②
である.この 2 式から
dy dx= ② ①
であり,これをさらに x で微分すると
d2 y dx2 = ddθ ⁢ ( dy dx ) dx dθ
だから
d2 yd x2 = ③ ⁢ cos 3⁡ θ- ④ ⁢ cos⁡θ + ⑤ ( ① ) 3
となる.ここで,右辺の分子は
( ⑥ ⁢ cos⁡θ - ⑦ ) (8⁢ cos2 ⁡θ+ ⑧ ⁢ cos ⁡θ- ⑤ )
のように因数分解することができ, 0<θ <π において
① >0 ,8⁢ cos2 ⁡θ+ ⑧ ⁢ cos ⁡θ- ⑤ < 0
であるから,曲線 C の変曲点は
( ⑨ , ⑩ )
の 1 点だけである.
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2008 関西大学 後期日程システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部3月4日実施
【2】 次の をうめよ.
行列 P= ( 21 3 2 ) の逆行列は
P-1 = ( ① )
である. A=( - 22 - 65 ) とするとき
P⁢ ( ② ) ⁢ P- 1= A
となる. n=1 ,2 , 3 ,⋯ に対し, A の n 個の積 A n は
An= ( ③ ④ ⑤ ⑥ )
と表される.
1 4⁢A +( 14 )2 ⁢A2 +⋯ +( 14 )n ⁢A n=( an bn cn dn )
とおくと
an= ⑦ × {1- ( ⑧ ) n }- ⑨ ×{ 1- ( ⑩ ) n}
と表される.ただし, ⑦ , ⑨ は正の数である.よって,
limn →∞ ⁡ an= ⑪
である.
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【3】 1 と書かれた赤玉,青玉,白玉が 1 つずつ, 2 と書かれた赤玉,青玉,白玉が 1 つずつ, 3 と書かれた赤玉,青玉が 1 つずつ,合わせて 8 個の玉が袋の中に入っている.この袋から 3 個の玉を同時に取り出す.
取り出した 3 個の玉について,以下の を適当な数値でうめよ.
(1) 赤玉が含まれている確率は ① である.
(2) 赤玉,青玉,白玉が 1 つずつある確率は ② である.
(3) ちょうど 2 種類の色の玉がある確率は ③ である.
(4) 玉に書かれた数字の最大値の期待値は ④ である.
(5) 赤玉,青玉,白玉が 1 つずつあり,かつ, 1 ,2 , 3 の数字が書かれた玉が 1 つずつある確率は ⑤ である.
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2008 関西大学 後期日程システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部学部3月4日実施
【4】 次の をうめよ.
(1) a=log 2⁡3 , b=log 3⁡5 とするとき, a ,b を用いて log10 ⁡3 を表すと, ① である.
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(2) 直線 y= x+k と円 (x- 1 k) 2+ y2 =4 とが異なる 2 点で交わるような k 2 の値の範囲は ② である.
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(3) 座標空間内に, 4 点 O (0, 0,0 ), A (1 ,1, 0) ,B (0 ,1, 0) , C( 1,1 ,1) がある. ▵OAC の重心を G とするとき,線分 GB を 1 :2 に内分する点 P の座標は ③ である.
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(4) ∫0 π4 ⁡ (sin⁡ 2⁢x )⁢( cos⁡2 ⁢x) 5⁢ dx の値は ④ である.
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(5) ∫- 12 ⁡| x-1 | ⁢dx の値は ⑤ である.