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2008-15113-0401
2008 関西学院大学 経済学部A方式
2月6日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) a ,b を正の実数とする. x ,y が a ⁢x+ y=6 を満たすとき, x ⁢y+ 2⁢x +b は x =(ア) で最大値 (イ) をとる. (ア) <3 となるような a の値の範囲は (ウ)< a である.さらに, a ,b がそれぞれ a >(ウ) , b< 3 の範囲にあるとき,つねに (イ)< p が成り立つ最小の整数 p は (エ) である.
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(2) 数列 {a n} が an= (-1 )n +1 ⁢n 2 ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ ) で定義されるとき,和 S n= ∑k= 1n ⁡ak を n の式で表したい.まず, n=2 ⁢m ( m= 1 ,2 , 3 , ⋯) のとき,
S2⁢ m= (a1 +a 2)+ ⋯+( a2 ⁢m-1 +a 2⁢m )
と書くと, a 2⁢k -1 +a2 ⁢k =(オ) ( k=1 , 2 ,3 , ⋯ ,m ) であるから, S2⁢ m を m の式で表して (カ) となる.また, n=2 ⁢m-1 ( m=1 , 2 ,3 , ⋯ ) のとき, S 2⁢m -1 を m の式で表すと (キ) となる. (カ) ,(キ) をまとめて n の式で表すと, Sn = (ク) ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ ) と表されることがわかる.
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【2】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) xy 平面上の 2 つの円 C 1:x 2+ y2= 25 , C2: (x- 3)2 + (y-4 )2 =2 がある. C2 上の点 (2 ,3) における接線の方程式は (ア) である. C2 上に格子点( x 座標と y 座標がともに整数である点)は全部で (イ) 個あり,そのうち座標が (ウ) である点は C 1 と C 2 の共有点である. C1 と C 2 のもう一つの共有点の座標は (エ) である. (ウ) , (エ) は (a ,b) の形で答えよ.
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(2) 正の整数 n を 6 で割った余りを r ⁡(n ) とおくと, 0 ≦r⁡ (n) ≦ (オ) である. 2 つの正の整数 a , b は,条件
0<a- r⁡(a )< 32 ⁢r( b) ,0< b-r⁡ (b) < 32 ⁢r⁡ (a⁢b )
を満たしているとする. a-r ⁡(a ) が 6 の倍数であることに着目すると,条件 0 <a- r⁡( a)< 3 2⁢ r⁡( b) より, a-r ⁡(a )= (カ) , r⁡ ( b)= (キ) であることがわかる.同様にして, b-r ⁡(b )= (カ) , r⁡ (a⁢ b)= (キ) であることがわかる.したがって, a= (ク) ,b =(ケ) である.
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【3】 a ,b を実数とする. xy 平面において,放物線 y =4⁢ (x- a)2 +b が, 4 点 O (0 ,0) ,A (1, 0) ,B (1 ,1) ,C (0, 1) を頂点とする正方形の周と交わる点の個数を数える.ただし,放物線は辺 OA (両端の点を含む)と異なる 2 点で交わるものとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 交点の個数が 2 であるとき, a ,b の値の組 (a ,b) を求めよ.
(2) 交点の個数が 3 であるとき,点 (a ,b) の存在する範囲を a b 平面上に図示せよ.
(3) 交点の個数が 4 であるとき,点 (a ,b) の存在する範囲を a b 平面上に図示せよ.
(4) 小問(3)で求めた範囲とその境界線を合わせた部分の面積を求めよ.