2008　関西学院大　文系学部Ｆ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を$\mathrm{AP}=x\text{，}\mathrm{BQ}=x\text{，}\mathrm{CR}=2x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}})$となるようにとる．$▵\mathrm{PQR}$の面積$S$を$x$の式で表すと$S=\boxed{\text{（ア）}}$である．$S$は$x=\boxed{\text{（イ）}}$のとき最大値$\boxed{\text{（ウ）}}$をとり，$\boxed{\text{（エ）}}$のとき最小値$\boxed{\text{（オ）}}$をとる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$n$を$2$以上の整数とする．$n$人で$1$回じゃんけんをするとき，勝負がつく（勝つ側と負ける側に分かれる）確率を$p_n$とする．$p_3=\boxed{\text{（カ）}}\text{，}{p}_4=\boxed{\text{（キ）}}$であり，$p_n=\boxed{\text{（ク）}}$である．$n$人で$1$回じゃんけんをするとき，勝負がつかない確率が${\displaystyle \frac{2}{3}}$以上となる最小の$n$は$\boxed{\text{（ケ）}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とし，$a\ne 0$とする．関数$f(x)=ax-1$および$g(x)=bx+c$が

${\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)\}}^{2}dx=1\text{，}{\displaystyle {\int }_0^1}f(x)g(x)dx=0\text{，}{\displaystyle {\int }_0^1}{\{g(x)\}}^{2}dx=1$

を満たすとき，$a$の値は$\boxed{\text{（ア）}}$であり，$b$の値は$\boxed{\text{（イ）}}$または$\boxed{\text{（ウ）}}$である．$c$の値は，$b=\boxed{\text{（イ）}}$のとき$c=\boxed{\text{（エ）}}\text{，}b=\boxed{\text{（ウ）}}$のとき$c=\boxed{\text{（オ）}}$と定まる．ただし，$\boxed{\text{（イ）}}>\boxed{\text{（ウ）}}$とする．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{DB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，直線$\mathrm{CE}$と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\boxed{\text{（カ）}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\boxed{\text{（キ）}}$となる．また，線分の長さの比$\mathrm{CE}:\mathrm{EF}$を最も簡単な整数の比で表すと$\boxed{\text{（ク）}}$である．さらに，四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とするとき，四面体$\mathrm{OBEF}$の体積は$V$の$\boxed{\text{（ケ）}}$倍である．

【３】　関数$f(x)=x^3-3x^2+6x$とおく．$xy$平面において，曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(\alpha ,f(\alpha ))$および$\mathrm{B}(\beta ,f(\beta ))$における接線が互いに平行であるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\beta$を$\alpha$の式で表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線の方程式$y=px+q$を求めよ．ただし，$p$および$q$は$\alpha$の式で表せ．

(3)　$\alpha$がどのような値をとっても，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線は$xy$平面上の定点を通ることを示せ．