2008　西南学院大学　神，商，人間科学部Ａ日程MathJax

【１】

1.　以下の問に答えよ．

(1)　$x$の不等式$|12-4x|<|6-3x|$の解は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}<x<\boxed{\text{エ}}$

である．

【１】

1.　以下の問に答えよ．

(2)　$x\text{，}y$がともに整数で，$x^2-2xy+3y^2-2x-8y+13=0$を満たすとき，

$(x,y)=(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})\text{，}(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}})$

である．ただし$\boxed{\text{オ}}<\boxed{\text{キ}}$とする．

【１】

2.　数列

${\displaystyle \frac{1}{2}\text{，}\frac{1}{3}\text{，}\frac{2}{3}\text{，}\frac{1}{4}\text{，}\frac{2}{4}\text{，}\frac{3}{4}\text{，}\frac{1}{5}\text{，}\frac{2}{5}\text{，}\frac{3}{5}\text{，}\frac{4}{5}\text{，}\cdots \text{，}\frac{18}{20}\text{，}\frac{19}{20}}$

について，第$20$項は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$であり，第$\boxed{\text{サシス}}$項は${\displaystyle \frac{14}{15}}$である．また，この数列の和は$\boxed{\text{セソ}}$である．

【２】

1.　四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$2:3$の比に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．三角形$\mathrm{PQR}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{1}{45}}(\boxed{\text{タ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{チ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{ツテ}}\overrightarrow{\mathrm{OC}})$

である．

　また点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{G}$を通る直線が面$\mathrm{OAB}$と交わる点を$\mathrm{H}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{1}{35}}(\boxed{\text{ト}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{ナ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}})$

であり，

$\mathrm{CG}:\mathrm{GH}=\boxed{\text{ニ}}:\boxed{\text{ヌ}}$

である．

【２】

2.　以下の値を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\cos }^2\frac{45°}{2}=\frac{\boxed{\text{ネ}}+\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$

(2)　${\tan }^2{\displaystyle \frac{45°}{2}}=\boxed{\text{ヒ}}-\boxed{\text{フ}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}$

(3)　$\sin 18°$の値は次のようにして求められる．

$\alpha =18°$とおくと$5\alpha =90°$だから，$2\alpha =90°-3\alpha$となる．

　これを利用すると，

$\sin 18°={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}-\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$

となる．

【３】　ある直方体の縦，横，高さをそれぞれ$x\text{，}y\text{，}z$とし，その体積を$V$とする．いま，この直方体の縦，横，高さの和が$12$で，その表面積が$90$のとき，以下の問に答えよ．

(1)　$xy+yz+zx$の値を求めよ．

(2)　$V$を$x$のみの式で表せ．

(3)　$V$の最大値と最小値を求めよ．