2008　福岡大学　応数，地球科，ナノサイエンス前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$x$の$2$次式$2x^2+(2-a)x-a^2-2a$を因数分解すると$\boxed{\text{(1)}}$である．また，$x$の$2$次方程式$2x^2+(2-a)x-a^2-2a=0$が正の解をもたないとき，定数$a$の値の範囲は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=6\text{，}\mathrm{BC}=5$とする．角$\mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{BD}:\mathrm{BC}=\boxed{\text{(3)}}$であり，線分$\mathrm{AD}$の長さは$\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$1$から$10$までの番号を$1$つずつ書いた$10$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に引くとき，書かれている番号の差が$5$以上である確率は$\boxed{\text{(5)}}$である．また，取り出した$2$枚のカードに書かれている番号のうち，大きい方が$8$か$9$なら$150$円，$10$なら$300$円をもらうゲームを行うとする．このゲームを$1$回行ったとき，もらえる金額の期待値は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=n^3+6n^2+11n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であるとき，$a_n=\boxed{\text{(1)}}$であり，${\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=1}^n}\frac{1}{a_k}}=\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$A=\left(\begin{array}{cc}a-2& -a\\ a& -2a\end{array}\right)$とする．行列$A$が逆行列をもたないとき，$a$の値を求めると$a=\boxed{\text{(3)}}$である．また，行列$A$で表される移動によって点$(a,1)$が点$(0,3)$に移るとき，$a=\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　関数$f(x)=\sin x{\cos }^{2}x$が${\displaystyle 0<x<\frac{\pi }{2}}$の範囲では$x=a$で極値$b$をとるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\cos a$と$b$の値を求めよ．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_0^a}f(x)dx$の値を求めよ．