2008　福岡大学　工学部機，電子，社会デ，薬前期

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$2x^2-7x+k=0$の$2$つの解の差が${\displaystyle \frac{3}{2}}$であるとき，$k=\boxed{\text{(1)}}$である．また，関数$y=x^2-2|x-1|$が$x=a$で最小値$b$をとるとき，$(a,b)=\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\sin x-\cos x=t$とおくとき，$\sin 2x$を$t$を用いて表すと，$\sin 2x=\boxed{\text{(3)}}$である．また，$0\leqq x\leqq \pi$において$2\sin 2x+8(\sin x-\cos x)-7$の最大値は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　数字が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．$4$枚には$1$が書かれており，$2$枚には$2$が書かれていて，残りの$4$枚には$3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$が$1$つずつ書かれている．この$10$枚のカードの中から$4$枚を同時に抜きだしたとき，書かれている$4$つの数の積が$9$の倍数である確率は$\boxed{\text{(5)}}$である．また，$3$枚を同時に抜きだしたとき，書かれている$3$つの数の積が$60$未満である確率は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{n+1}{n}}{a}_n+n^2-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$がある．${\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n}}$とおくとき，$b_{n+1}-b_n$を$n$を用いて表すと$\boxed{\text{(1)}}$であり，数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めると$a_n=\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　空間のベクトル$\overrightarrow{a}=(p,q,1)$が$\overrightarrow{b}=(1,2,1)\text{，}\overrightarrow{c}=(2,-1,-2)$に直交しているとする．このとき，$p\text{，}q$の値を求めると，$(p,q)=\boxed{\text{(3)}}$である．また，空間の$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$をみたしているとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　関数$f(x)=(ax+b)e^x$が$x=1$で極値$-2e$をとっているとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　関数$y=x^2-2|x-1|$の最小値は$\boxed{\text{(3)}}$である．また，点$(1,1)$を通り，傾き$k$の直線が$y=x^2-2|x-1|$のグラフと$3$点を共有するとき，$k$の値の範囲は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a_1={\displaystyle \frac{5}{2}}\text{，}{a}_{n+1}=({\log }_{n+2}(n+1))a_n+{\log }_{n+2}\sqrt{2}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$がある．$b_n=({\log }_2(n+1))a_n$とおくとき，$b_{n+1}-b_n$を$n$を用いて表すと$\boxed{\text{(1)}}$であり，数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めると，$a_n=\boxed{\text{(2)}}$である．

【３】　$f(t)=t^2$とする．$x\leqq t\leqq x+1$における$f(t)$の最大値を$M(x)$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　傾きが$-4$の直線$l$と$y=M(x)$のグラフとの共有点がただ$1$個であるとする．このとき，直線$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$y=M(x)$のグラフと(ⅰ)で求めた直線$l$および直線$y=2x+1$とで囲まれる部分の面積を求めよ．