2008　福岡大学　医学部医学科MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次関数$y=x^2-4x+3$の$|x|\leqq 3$における最大値は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，$|x|\leqq a$$\text{（}a>0\text{）}$における，$y=x^2-4x+3$の最小値が$a^2-4a+3$であるとき，$a$の値の範囲は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$5$個の数字$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$を使って$5$桁の整数をつくる．ただし，$1$つの数字は$1$度しか使わないとする．このような$5$桁の整数は全部で$\boxed{\text{(3)}}$個あり，そのうち$20000$より大きい奇数は$\boxed{\text{(4)}}$個ある．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して$\tan \theta =t$とおく．このとき${\cos }^2\theta$と$\sin 2\theta$をそれぞれ$t$を用いて表すと，${\cos }^2\theta =\boxed{\text{(5)}}\text{，}\sin 2\theta =\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　方程式$({\log }_{2}x+{\log }_{4}x){\log }_{8}x={\log }_8(2\sqrt{2}{x}^4)$をみたす$x$の値を求めると，$x=\boxed{\text{(1)}}$である．また，不等式$({\log }_{\frac{1}{2}}x){\log }_{x^3}(-x^2+{\displaystyle \frac{5}{4}}x)\geqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$をみたす$x$の値の範囲は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{L}$とし，線分$\mathrm{BM}$と$\mathrm{AL}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{(3)}}$である．さらに，$\left|\overrightarrow{a}\right|={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であるとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　$a>0$とする．関数$f(x)=x\sqrt{a+x^2}$に対して，曲線$y=f(x)$上の点$(1,f(1))$における接線の傾きが${\displaystyle \frac{5}{2}}$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(\cos \theta )d\theta$の値を求めよ．