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【3】 座標平面において,原点を中心とする半径の円上の点に対して,線分上の点をとなるようにとる.ただし,とが一致するときは,はと同じ点とする.
(1) 点の座標をそれぞれとする.ここで,とする.このとき,点の座標は
で与えられ
となるので,点を円上で動かすとき,のとり得る値の範囲は
である.
(2) 点を円上で動かしたとき,点は不等式
(*)
が表す領域全体を動くことを示そう.
点を固定し,点を上で周させたとき,点の軌跡は,点
を中心とする半径の円である.
さらに,点を上で周させたとき,は原点を中心とする半径の円上を周する.したがって,点を上で周させたとき,円が通過してできる図形は,上の不等式(*)が表す領域と一致する.
【4】 を原点とする座標空間における点をとする.ひし形を底面とする四角と,平面に平行な平面との共通部分について考える.
(1) であり,三角形の面積はである.
(2) とおく.とし,点を線分をに内分する点とすると,である.点を
で定め,線分と線分が交わることを示そう.上の点は,を満たすを用いて
と表される.また,上の点は,を満たすを用いて
と表される.
とはのとき一致するから,線分とは,をに内分する点で交わることがわかる.この点をとする.
点を
で定めると,同様に考えることにより,線分と線分も,をに内分する点で交わることがわかる.この点をとすると
であり,三角形は三角形と平行であるから,四角形の面積は
である.
また
である.
回目 | 回目 | ||||
班 | 番号 | 数学 | 英語 | 数学 | 英語 |
Ⅰ | |||||
B | |||||
C | |||||
Ⅱ | A | D | |||
平均値 | E |
【5】 右の表は,名からなるある少人数クラスをⅠ班とⅡ班に分けて,点満点で回ずつ実施した数学と英語のテストの得点をまとめたものである.ただし,表中の平均値はそれぞれ回目と回目の数学と英語のクラス全体の平均値を表している.また,A ,B ,C ,D の値はすべて整数とする.
以下,小数の形で解答する場合は,指定された数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合は,指定された桁までにマークすること.
(1) 回目の数学の得点について,Ⅰ班の平均値は点である.また,クラス全体の平均値は点であるので,Ⅱ班の番目の生徒の数字の得点 A は点である.
(2) Ⅱ班の回目の数学と英語の得点について,数学と英語の分散はともにである.したがって,相関係数はである.
(3) 回目の英語の得点について,Ⅰ班の番目の生徒の得点 B の値がわからないとき,クラス全体の得点の中央値の値として通りの値があり得る.
実際は,回目の英語の得点のクラス全体の平均値 E が点であった.したがって,B は点と定まり,中央値は点である.
(4) 回目の数学の得点について,Ⅰ班の平均値はⅡ班の平均値より点大きかった.したがって,Ⅰ班の番目の生徒の得点 C からⅡ班の番目の生徒の得点 D を引いた値は点である.
(5) 回目のクラス全体の数学と英語の得点の相関図(散布図)は,であり,回目のクラス全体の数学と英語の得点の相関図は,である.また,回目のクラス全体の数学と英語の得点の相関係数を回目のクラス全体の数学と英語の得点の相関係数をとするとき,値の組として正しいのはである.に当てはまるものを,それぞれ次ののうちから一つずつ選べ.
また,に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
(6) 回目のクラス全体名の英語の得点について,採点基準を変更したところ,得点の高い方から名の得点が点ずつ下がり,得点の低い方から名の得点が点ずつ上がったが,その他の名の得点に変更は生じなかった.このとき,変更後の平均値はする.また,変更後の分散はする.に当てはまるものを,それぞれ次ののうちから一つずつ選べ.
【6】 を異なる自然数とする.このとき,与えられた自然数について,以下の自然数のうちで
(*)
のように表すことができるものを小さい順にすべて列挙し,最後にその個数を表示したい.そのために次のような〔プログラム〕を作った.ここで,INT(X)
は X
を越えない最大の整数を表す関数である.
〔プログラム〕
100 INPUT PROMPT "p="; P
110 INPUT PROMPT "q=": P
120 INPUT PROMPT "d="; D
130 LET U=0
140 FOR K=1 TO D
150 IF K-INT(K/P)*P=0 THEN
160 FOR M=0 TO INT(K/P)
170 LET R=K-M*P
180 IF
THEN
190 NEXT M
200
210 PRINT K
220
230 NEXT K
240 PRINT "
総数="; U
250 END
(1) 〔プログラム〕のに当てはまるものを,それぞれ次ののうちから一つずつ選べ.
GOTO 150
GOTO 170
GOTO 180
GOTO 200
GOTO 210
GOTO 230
PRINT R
PRINT U
PRINT M
LET R=R+1
LET U=U+1
LET K=K+1
また,に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
R-INT(R/M)*M<>0
R-INT(R/M)*M=0
R-INT(R/P)*P<>0
R-INT(R/P)*P=0
R-INT(R/Q)*Q<>0
R-INT(R/Q)*Q=0
(2) 〔プログラム〕を実行し,変数 P
,Q
,D
にそれぞれ 3
,7
,15
を入力したとき,整数の列
3
7 9
12 13 14 15
に続いて
総数 =9
が出力される.また,変数 P
,Q
,D
にそれぞれ 3
,7
,100
を入力したとき,整数の列に続いて
総数 =
が出力される.
〔プログラム〕を部分的に変更して,次のような種類のプログラムを作る.
(3) 式(*)のように表すことができないような以下の自然数を小さい順にすべて列挙し,最後にその個数を表示したい.そのためには,〔プログラム〕の 150
行および 180
行にあるをに置き換えるとともに,200
行を削除すればよい.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
GOTO 190
GOTO 200
GOTO 210
GOTO 220
GOTO 230
GOTO 240
(4) 自然数に対して,式(*)を満たす組の個数をとする.以下の各自然数についてを出力し,最後に総数として和の値を表示したい.そのためには,〔プログラム〕の 150
行を
150
のように変更し,180
行のをに置き換えて,200
行を削除する.さらに 210
行および 220
行を
210 PRINT "k=" ;K; "
のとき," ;V; "
個"
220
に変更すればよい.に当てはまるものを,それぞれ次ののうちから一つずつ選べ.
GOTO 210
GOTO 220
GOTO 230
LET V=0
LET V=U
LET U=U+V
LET V=V+U
LET U=U+1
LET V=V+1