2009　大学入試センター試験　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

〔１〕　$\angle \mathrm{B}$が直角である直角三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\mathrm{BC}=5$とし，$\mathrm{AC}=x$とおく．このとき，$x>5$である．$▵\mathrm{ABC}$を$\mathrm{AB}$を軸として$1$回転させてできる円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$の表面積を$S_1$とおくと

$S_1=(\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イウ}})\pi$

である．$\mathrm{AB}$を直径とする球の表面積を$S_2$とおくと

$S_2=(x^2-\boxed{\text{エオ}})\pi$

である．$S_2>S_1$となる$x$の値の範囲は$x>\boxed{\text{カキ}}$である．

【１】

〔２〕　連立不等式

$\{\begin{array}{ll}2x^2-2x-3\leqq 0& \cdots \text{①}\\ |2x-5|\geqq 2& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．

　不等式$\text{①}$を解くと

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}-\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}+\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$$\cdots \text{③}$

となる．

　不等式$\text{②}$を解くと

$x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\leqq x$$\cdots \text{④}$

となる．

　次の$\boxed{\text{ソ}}\text{，}$$\boxed{\text{タ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．

　上の連立不等式の解は，$\text{③}\text{，}$$\text{④}$の共通の範囲であるから$\boxed{\text{ソ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{タ}}$である．

【２】　$a\ne 0$を満たす定数$a$に対し，$x$の$2$次関数

$y=a{x}^2+(4-4a)x+3a-10$$\cdots \text{①}$

のグラフを$G$とする．

　グラフ$G$の頂点の座標を$a$を用いて表すと

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}a-\boxed{\text{イ}}}{a}},-{\displaystyle \frac{a^2+\boxed{\text{ウ}}a+\boxed{\text{エ}}}{a}})$

である．$2$次関数$\text{①}$は

$y=a(x-\boxed{\text{オ}})(x-\boxed{\text{カ}})+4x-10$

と変形される．ただし，$\boxed{\text{オ}}<\boxed{\text{カ}}$とする．このことから，グラフ$G$は$2$点$(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{キク}})\text{，}$$(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{ケ}})$を通ることがわかる．

(1)　グラフ$G$が点$(0,{\displaystyle \frac{14}{3}})$を通るとき，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．このとき，関数$\text{①}$の$0\leqq x\leqq 4$における最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(2)　関数$\text{①}$の$0\leqq x\leqq 4$における最大値が${\displaystyle \frac{14}{3}}$であるような$a$の値は$\boxed{\text{タチ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．$a=\boxed{\text{タチ}}$のとき，関数$\text{①}$の$0\leqq x\leqq 4$における最小値は$\boxed{\text{ナニヌ}}$である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=10\text{，}$$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{4}{5}}$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\mathrm{C}$から$\mathrm{AB}$に垂線をひき，垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\mathrm{AH}=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\mathrm{CH}=\boxed{\text{イ}}$であり

$\mathrm{BC}=\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エオ}}}\text{，}$$\mathrm{CD}=\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$

である．また

$\angle \mathrm{BCD}=\boxed{\text{クケ}}°$

である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．円$O$の半径は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

　$\mathrm{CD}$の延長と円$O$との交点のうち$\mathrm{C}$と異なる方を$\mathrm{E}$とする．$▵\mathrm{ADE}$と相似な三角形は，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち$\boxed{\text{セ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$▵\mathrm{ABC}$
• $\overline{)\text{1}}$　$▵\mathrm{CDB}$
• $\overline{)\text{2}}$　$▵\mathrm{CAE}$
• $\overline{)\text{3}}$　$▵\mathrm{ACH}$

したがって

$\mathrm{AE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．また，$▵\mathrm{ADE}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．

(3)　辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{F}$とし，$\mathrm{AF}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{G}$とする．このとき

$\mathrm{GF}=\sqrt{\boxed{\text{ニヌ}}}$

である．また

$\mathrm{OG}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ネノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$

である．

【４】　$a$を定数とし，$x$についての整式

$A=x^2+2x-5$

$B=(2-{\displaystyle \frac{a}{3}})x+{\displaystyle \frac{a}{6}}-{\displaystyle \frac{19}{4}}$

を考える．

　$2$次方程式$A=0$の解の小さい方を$\alpha \text{，}$大きい方を$\beta$とすると

$\alpha =\boxed{\text{ア}}-\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{，}$$\beta =-\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$

である．

　整式$A-B$は

$A-B$$=(x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}})(x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}})$

となる．

　したがって，不等式$A\leqq B$を満たす$x$の値の範囲が$-{\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$になるような$a$の値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

　また，すべての実数$x$について不等式$A\geqq B$が成り立つような$a$の値は$\boxed{\text{コサ}}$である．

　次の$\boxed{\text{シ}}\text{，}$$\boxed{\text{ス}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．

　$4$個の実数

のうち最大のものは$\boxed{\text{シ}}$であり，最小のものは$\boxed{\text{ス}}$である．

【１】

〔２〕　次の$\boxed{\text{ク}}\text{〜}$$\boxed{\text{コ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　実数$a\text{，}b$に関する条件$\mathrm{p}\text{，}$$\mathrm{q}\text{，}$$\mathrm{r}$を次のように定める．

$\mathrm{p}:a\leqq n<b$を満たす整数$n$がちょうど$2$個ある

$\mathrm{q}:a\leqq 2m<b$を満たす整数$m$がちょうど$1$個ある

$\mathrm{r}:$関数$y=x+2$のグラフが点$(a,b)$を通る

また，条件$\mathrm{q}$の否定を$\bar{\mathrm{q}}\text{，}$条件$\mathrm{r}$の否定を$\bar{\mathrm{r}}$で表す．このとき

$\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが，十分条件でない

$\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが，必要条件でない

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=10\text{，}$$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{4}{5}}$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\mathrm{C}$から$\mathrm{AB}$に垂線をひき，垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\mathrm{AH}=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\mathrm{CH}=\boxed{\text{イ}}$であり

$\mathrm{BC}=\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エオ}}}\text{，}$$\mathrm{CD}=\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$

である．また

$\angle \mathrm{BCD}=\boxed{\text{クケ}}°$

である．

(2)　$\mathrm{B}$において直線$\mathrm{AB}$に接し，$\mathrm{C}$において直線$\mathrm{AC}$に接する円の中心を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{CD}$と円$O$との交点のうち$\mathrm{C}$と異なる方を$\mathrm{E}$とする．

　$▵\mathrm{BDE}$と相似な三角形は，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち$\boxed{\text{コ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$▵\mathrm{ABC}$
• $\overline{)\text{1}}$　$▵\mathrm{CDB}$
• $\overline{)\text{2}}$　$▵\mathrm{CAE}$
• $\overline{)\text{3}}$　$▵\mathrm{ACH}$

したがって

$\mathrm{BE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．よって

$\mathrm{AE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

であり，$▵\mathrm{ABE}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．

　$\mathrm{AE}$の延長と円$O$との交点のうち$\mathrm{E}$と異なる方を$\mathrm{F}$とするとき

$\mathrm{AF}=\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$

である．

【４】　$3$つの袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，それぞれの袋には$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$と番号がつけれらた$4$個の玉が入っている．袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から$1$個ずつ玉を取り出し，その玉の番号をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．このときの得点を次のように定める．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$がすべて同じ数である玉の取り出し方は$\boxed{\text{ア}}$通りである．また，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の中の$2$つが同じ数であり，残りの$1$つがそれと異なる数である玉の取り出し方は$\boxed{\text{イウ}}$通りである．

(2)　次の$\boxed{\text{エ}}\text{〜}$$\boxed{\text{キ}}$に当てはまるものを下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

$a=1\text{，}$$b=2\text{，}$$c=3$であるとき，得点は$\boxed{\text{エ}}$点である．

$a=1\text{，}$$b=2\text{，}$$c=4$であるとき，得点は$\boxed{\text{オ}}$点である．

$a=1\text{，}$$b=3\text{，}$$c=4$であるとき，得点は$\boxed{\text{カ}}$点である．

$a=2\text{，}$$b=3\text{，}$$c=4$であるとき，得点は$\boxed{\text{キ}}$点である．

• $\overline{)\text{0}}$　$10$
• $\overline{)\text{1}}$　$1$
• $\overline{)\text{2}}$　$2$
• $\overline{)\text{3}}$　$3$
• $\overline{)\text{4}}$　$4$
• $\overline{)\text{5}}$　$5$
• $\overline{)\text{6}}$　$6$
• $\overline{)\text{7}}$　$7$
• $\overline{)\text{8}}$　$8$
• $\overline{)\text{9}}$　$9$

(3)　得点が$a=1\text{，}$$b=2\text{，}$$c=3$のときの得点と同じになる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$であり，$a=1\text{，}$$b=2\text{，}$$c=4$のときの得点と同じになる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$である．また，得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソタ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}$である．