2009 北海道大学 前期

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2009 北海道大学 前期

文系学部

易□ 並□ 難□

【1】  r=1+ 3 i とする.ただし, i は虚数単位である.実数 a b に対して多項式 P (x )

P( x)= x4+ ax 3+b x2 -8 (3 +1) x+ 16

で定める.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  P(γ )=0 となるように a b を定めよ.

(2) (1)で定めた a b に対して, P( x)= 0 となる複素数 x γ 以外のものをすべて求めよ.

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文系学部

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上の点 (a, b) a b のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ. y=3 x2 -6 x で表される放物線を C とする. n を自然数とし, C 上の点 P ( n,3 n2 -6 n) をとる.原点を O (0 ,0) とする. C と線分 OP で囲まれる図形を D とする.ただし, D は境界を含むとする. 0k n をみたす整数 k に対して,直線 x =k 上にあり D に含まれる格子点の個数を f (k ) とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  f(k ) を求めよ.

(2)  D に含まれる格子点の総数を求めよ.

(3)  D が最大になるような k を求めよ.

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文系学部

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【3】 実数 t> 0 に対して,座標平面上に点 P (t ,0) Q ( 2t, 1-4 t2 ) R ( -t,1 -t2 ) をとる.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  P Q R が一直線上にあるような t の値を求めよ.

(2) (1)で求めた値を t 0 とする. 0<t <t0 のとき,三角形 PQR の面積 S (t ) の最大値とそのときの t の値を求めよ.

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文理共通

理系学部は【1】

易□ 並□ 難□

2009年北大前期文系【4】,理系【1】の図

【4】 図はある三角錐 V の展開図である.ここで AB =4 AC =3 BC =5 ACD=90 ° ABE は正三角形である.このとき, V の体積を求めよ.



2009-10001-0105(解答は川村先生サイトで)

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理系学部

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【2】 直角三角形 ABC において B は直角であるとし,辺 AC の長さを α とする.辺 AC n 等分し,その分点を A に近い方から順に D 1 D2 D3 D n-1 とおく. 1k n- 1 に対し,線分 B Dk の長さを L k とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  Sn= k =1n -1 (L k) 2 α n で表せ.

(2)  limn Sn n α で表せ.

2009-10001-0106(解答は川村先生サイトで)

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理系学部

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【3】  t>0 とし, x=t で表される直線を l 1 とする. y= x24 で表される放物線を C とおく. C l 1 の共有点 ( t, t2 4 ) における C の接線を l 2 とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  l1 l 2 のなす角を θ とするとき, cos θ を求めよ.ただし, 0θ π2 とする.

(2)  l1 l 2 に関して対称移動させた直線を l 3 とおくとき, l3 の方程式を求めよ.

(3)  l3 t によらない定点を通ることを示せ.

(4)  t3 C 2 つの共有点を P Q とする.線分 PQ の長さが最小になるような l の値を求めよ.

2009-10001-0107(解答は川村先生サイトで)

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理系学部

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【4】  0<a <1 0< θ<π とする. 4 O (0 ,0) A (a, 0) P (cos θ, sinθ ) Q( x,y ) が条件

OQ=AQ =PQ

をみたすとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 点 Q の座標を a θ で表せ.

(2)  a を固定する. 0<θ <π の範囲で θ が動くとき, y の最小値を求めよ.

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理系学部

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【5】 自然数 n に対して

an= 0 π 4 (tan x) 2n dx

とおく.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  a1 を求めよ.

(2)  an+ 1 a n で表せ.

(3)  limn a n を求めよ.

(4)  limn k= 1n (- 1) k+1 2 k-1 を求めよ.