2009　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とし，$a>1$とする．関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+a{x}^2+bx+c\text{，}g(x)=f^{\prime }(x)$

と定める．$f(x)$は$x=1$で極値$-1$をとる．

(1)　$b$と$c$を$a$を用いて表せ．

(2)　曲線$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積が${\displaystyle \frac{4}{3}}$であるとき，定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【２】　$k$を正の定数とし，関数$f(x)$を$f(x)=k{x}^2-\log x$と定める．ここで，対数は自然対数である．

(1)　$f(x)$の極値を$k$を用いて表せ．

(2)　$f(x)=0$が相異なる$2$つの解をもつための$k$に関する必要十分条件を求めよ．ただし，必要なら$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$を用いてよい．

(3)　$f(x)=0$は$2$つの解$x_1\text{，}{x}_2\text{（}{x}_1<x_2\text{）}$をもつとする．このとき，

$I={\displaystyle \frac{1}{x_2-x_1}}{\displaystyle {\int }_{x_1}^{x_2}}(3k{x}^2-\log x)dx$

とおくと$I$は$k$の値によらず一定となる．$I$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_1={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{a}_{n+1}=a_n+2n-{\displaystyle \frac{16}{3}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定義する．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおく．${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{b}_k$を$n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$a_n$の値が最小となる$n$の値と，そのときの$a_n$を求めよ．

【４】　$t$を実数とする．平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$は辺$\mathrm{AD}$上にあり，

$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=t\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AF}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

を満たすとする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$および$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$t\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　$\angle \mathrm{BAD}=60°$かつ$\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{d}\right|=1$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$が最大となる$t$の値を求めよ．

【５】　行列に関する以下の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を実数とする．$x\text{，}y$についての連立$1$次方程式

$\{\begin{array}{l}(a-b)x+(a+1)y=0\\ (-a+1)x-(a+b)y=0\end{array}$

が$x=0\text{，}y=0$以外の解をもつように$b$の値を求めよ．

(2)　$c$を実数とし，行列$A$を$A=\left(\begin{array}{cc}c& c+1\\ -c+1& -c\end{array}\right)$と定める．座標平面上の点$(x_0,y_0)$が$A\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$を満たすとき，$y_0$を$x_0$を用いて表せ．

(3)　直線$2x+3y=0$を$l$とする．(2)における行列$A$の表す$1$次変換により$l$上のすべての点が$l$上の点に移るとき，$c$の値を求めよ．