2009　東北大学　後期MathJax

【１】　$P(x)$を$x$についての$3$次式で，$x^3$の項の係数が$1$であるものとする．$a<b$および$c<d$を満たす実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して，$P(x)$を$(x-a)(x-b)$で割った商と余りが，それぞれ，$P(x)$を$(x-c)(x-d)$で割った余りに一致するための必要十分条件は，$a=c\text{，}b=d$であることを示せ．

【２】　アメ玉の入った缶がある．白のアメ玉が$11$個，赤黄緑青の$4$色のアメ玉がそれぞれ$1$個ずつ，合計$15$個入っている．缶の中身をよく混ぜてから$3$個同時に取り出す．取り出した$3$個について以下の確率と期待値を求めよ．

(1)　$3$個とも白のアメ玉である確率．

(2)　緑のアメ玉が含まれる確率．

(3)　緑と青のアメ玉の個数の合計の期待値．

(4)　白以外のアメ玉の個数の期待値．

【３】　$a$を正の実数とし，放物線$y={\displaystyle \frac{a+1}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$を$C_1\text{，}$放物線$y=-{\displaystyle \frac{a+1}{4a}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$を$C_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　$a$が動くとき，(2)の$S$の最大値を求めよ．

【４】　$t$を$t\geqq \mathrm{０}$を満たす実数とする．座標平面において，不等式$x^2+y^2+2y-1\leqq 0$が表す領域を$A\text{，}$不等式$x^2+y^2-2(t+1)x-2t^{2}y+t^4+2t-1\leqq 0$が表す領域を$\mathrm{B}\text{，}$不等式$x^2+y^2+2(t+1)x-2t^{2}y+t^4+t^2+2t-1\leqq 0$が表す領域を$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$t=0$のとき，$A\text{，}B\text{，}C$の共通部分$A\cap B\cap C$は空集合でないことを示せ．

(2)　$B$と$C$の共通部分が$1$点からなるとき，$t$の値を求めよ．

(3)　$t$が(2)で求めた値のとき，$B$と$C$の共通部分は$A$に含まれることを示せ．

(4)　$A\cap B\cap C$が空集合でないための$t$の範囲を求めよ．

【１】　一直線上にない$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$とする．$0<t<1$を満たす実数$t$に対して，三角形$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とする．また，線分$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{G}\text{，}$線分$\mathrm{CF}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{H}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{I}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　実数$x\text{，}y\text{，}z$が$x+y+z=0\text{，}x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$を満たすとき，$x=y=z=0$となることを示せ．

(2)　点$\mathrm{G}$の位置ベクトル$\overrightarrow{g}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}t$で表せ．

(3)　$3$点$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}$が一致するような$t$を求めよ．

【３】　実数の間の等式

$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2\cdots$(＊)

を以下の手順に従って示せ．

(1)　係数が整数である$x$の$3$次方程式で$x=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$が解になるものを$1$つ求めよ．

(2)　(1)で求めた$3$次方程式を解くことにより，等式(＊)を証明せよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を$a<b\text{，}c<d\text{，}b\ne c\text{，}a\ne d$を満たす実数，$P(x)$を$x$についての$3$次式とする．$P(x)$を$(x-a)(x-b)$で割った余りと$P(x)$を$(x-c)(x-d)$で割った余りは一致するものとする．その余りを$R(x)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$Q(x)=P(x)-R(x)$とおくと，$Q(x)$は$Q(a)=Q(b)=Q(c)=Q(d)=0$を満たす$3$次式であることを示せ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$のうち少なくとも$2$つは等しいことを示し，それを用いて，$a=c$または$b=d$が成り立つことを示せ．

(3)　$3$次式

• $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)+(x-a)(x-b)(x-d)$
• $+(x-a)(x-c)(x-d)+(x-b)(x-c)(x-d)$

が条件を満たすとき，$b-a=d-c$であることを示し，$a=c\text{，}b=d$となることを示せ．

【５】　$e$を自然対数の底とし，$y=e^x$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　実数$t$に対して，点$\mathrm{P}(t,e^t)$における$C$の接線を$l$とする．$l$の方程式を$t$で表せ．

(2)　(1)において，曲線$C$と接線$l$の共有点は点$\mathrm{P}$のみであることを示せ．

(3)　$p\text{，}q$を実数とし，$y=\log (x-p)+q$で表される座標平面上の曲線を$D$とする．$C$と$D$が$1$点のみを共有するような$p$と$q$のうちで，$2p-q$が最大となる$p\text{，}q$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

【６】　$a$を$a>1$を満たす実数とし，$y=\sin x$のグラフと$y=\sin ax$のグラフの$x>0$における交点のうち，$x$座標が最も小さい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の$x$座標を$f(a)$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(a)$を$a$で表せ．

(2)　$0\leqq x\leqq f(a)$において$y=\sin x$のグラフと$y=\sin ax$のグラフで囲まれた図形の面積$S(a)$を$a$で表せ．

(3)　(2)の$S(a)$について，$\underset{a\to \infty }{\lim }aS(a)$を求めよ．