2009　筑波大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　等式$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$を示せ．

(2)　$2\cos 80°$は$3$次方程式$x^3-3x+1=0$の解であることを示せ．

(3)　$x^3-3x+1=(x-2\cos 80°)(x-2\cos \alpha )(x-2\cos \beta )$となる角度$\alpha \text{，}\beta$を求めよ．ただし$0°<\alpha <\beta <180°$とする．

【２】　$xyz$空間内において，$yz$平面上で放物線$z=y^2$と直線$z=4$で囲まれる平面図形を$D$とする．点$(1,1,0)$を通り$z$軸に平行な直線を$l$とし，$l$のまわりに$D$を$1$回転させてできる立体を$E$とする．

(1)　$D$と平面$z=t$との交わりを$D_t$とする．ただし$0\leqq t\leqq 4$とする．点$\mathrm{P}$が$D_t$上を動くとき，点$\mathrm{P}$と点$(1,1,t)$との距離の最大値，最小値を求めよ．

(2)　平面$z=t$による$E$の切り口の面積$S(t)\text{（}0\leqq t\leqq 4\text{）}$を求めよ．

(3)　$E$の体積$V$を求めよ．

【３】　$f(x)$を整式で表される関数とし，$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{t}f(t)dt$とおく．任意の実数$x$について

$x(f(x)-1)=2{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}g(t)dt$

が成り立つとする．

(1)　$x{f}^{″}(x)+(x+2)f^{\prime }(x)-f(x)=1$が成り立つことを示せ．

(2)　$f(x)$は定数または$1$次式であることを示せ．

(3)　$f(x)$および$g(x)$を求めよ．

【４】　自然数の数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は

${(5+\sqrt{2})}^n=a_n+b_n\sqrt{2}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすものとする．

(1)　$\sqrt{2}$は無理数であることを示せ．

(2)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n$を用いて表せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}+p{b}_{n+1}=q(a_n+p{b}_n)$が成り立つような定数$p\text{，}q$を$2$組求めよ．

(4)　$a_n\text{，}{b}_n$を$n$を用いて表せ．

【５】　実数$a$に対し，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a-1& a-2\\ a-2& 1-a\end{array}\right)$を考える．$n$を自然数とし，座標平面上において，行列$A^n$により点$(1,0)$が点${\mathrm{P}}_n$に移り，点$(0,1)$が点${\mathrm{Q}}_n$に移るものとする．$2$点${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n$の間の距離を${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$で表す．

(1)　${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$を求めよ．

(2)　$A^n$を$a$と$n$を用いて表せ．

(3)　$n$が固定され，$a$が実数全体を動くとき，${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$の最小値を求めよ．

【６】　点$\mathrm{P}(x,y)$が双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{2}}-y^2=1$上を動くとき，点$\mathrm{P}(x,y)$と点$\mathrm{A}(a,0)$との距離の最小値を$f(a)$とする．

(1)　$f(a)$を$a$で表せ．

(2)　$f(a)$を$a$の関数とみなすとき，$ab$平面上に曲線$b=f(a)$の概形をかけ．

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

　社会学類　【１】，【４】必須

社会・国際学群

　国際総合学類　数学II・B選択者　【１】，【４】必須

　国際総合学類　数学III・C選択者　【２】か【３】から１題，【５】か【６】から1題選択

人間学群

　数学II・数学B選択者　【１】，【４】必須

　数学III選択者　【２】，【３】必須

　数学C選択者　【５】，【６】必須

生命環境学群

　生物学類，生物資源学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から２題選択

　地球学類　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

理工学群

　数学類，物理学類，化学類

　　　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

　応用理工学類，工学システム学類

　　　【２】，【３】必須，【１】と【４】〜【６】から２題選択

　社会工学類

　　　【２】，【３】必須，【１】か【４】から1題，【５】か【６】から1題選択

情報学群

　情報科学類，情報メディア創成学類

　　　【１】，【２】，【３】，【４】必須， 【５】か【６】から1題選択

　知識情報・図書館学類

　　数学II・数学B選択者　【１】，【４】必須

　　数学II・数学C選択者　【１】必須，【５】，【６】から1題選択

　　数学III・数学B選択者　【４】必須，【２】，【３】から1題選択

　　数学III・数学C選択者　【２】か【３】から1題，【５】か【６】から1題選択

医学群（医学類・医療科学類）　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から２題選択