2009　筑波大学　推薦理工学群工学システム学類MathJax

2009-10162-0601

2009　筑波大学　推薦理工学群工学システム学類

易□　並□　難□

【１】　次の設問を読んで解答せよ．

(1)　級数の和 $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ を $n$ で表わせ．導出過程も詳述せよ．導出にあたり，恒等式： ${(k + 1)}^{3} - k^{3} = 3 k^{2} + 3 k + 1$ および ${(k + 1)}^{2} - k^{2} = 2 k + 1$ を利用してよい．

図 $1$

(2)　区分求積法に関する次の説明を読み，その下にある問について，導出過程を論述しながら解答せよ．

（説明）区間 $a ≦ x ≦ b$ において関数 $y = f (x)$ （ただし $f (x) ≧ 0$ とする）と $x$ 軸に囲まれる面積を区分求積法で求める方法として，例えば次の手順がある．

$①$ 　図 $1$ のように，面積を求める区間を幅の等しい $n$ 個の小区間にわける．

　ひとつの小区間 $x_{k - 1} ≦ x ≦ x_{k}$ をとり，この区間の位置 $x = x_{k}$ における関数値 $y = f (x_{k})$ を求める．

$②$ 　その小区間の幅に $f (x_{k})$ を乗じてその区間の長方形の面積 $s_{k}$ を求める．

$③$ 　長方形の面積 $s_{k} （ k = 1 ， \dots ， n ）$ の総和 $T_{n}$ を求める．

$④$ 　 $n \to \infty$ として $T_{n}$ の極限値を求める．

（問）区分求積法により， $1 ≦ x ≦ 2$ の区間において，関数 $y = x^{2}$ と $x$ 軸に囲まれる図形の面積を求めよ．

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