2009　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】　座標平面上で$C_1$を中心$(-1,0)\text{，}$半径$1$の円とする．この座標平面上に中心$(a,b)\text{（}a\text{，}b\geqq 0\text{），}$半径$r>0$の円$C_2$が円$C_1$と$x$軸とに接するように置かれている．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　半径$r$が変化するとき，中心$(a,b)$の軌跡を求めなさい．

(2)　$2$つの円の接点の$x$座標を$a$で表しなさい．

【２】　次の式を満たすグラフをかきなさい．グラフがそうなることがわかるような説明や計算も簡潔に書くこと．

${\cos }^{2}y=\sin x\cos x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$（ただし，$0\leqq x\leqq \pi \text{，}0\leqq y\leqq \pi$とする）

【３】　座標平面内の原点$\mathrm{O}=(0,0,0)$と，$3$点$\mathrm{A}=(0,0,r)\text{，}\mathrm{B}=(1,0,0)\text{，}\mathrm{C}=(0,1,0)$が与えられている．原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂直な直線をひき，その直線と三角形の交点を$\mathrm{H}$とする．また，$2$直線$\mathrm{AH}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}\text{，}2$直線$\mathrm{CH}$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{J}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．ただし，$r$は正の実数とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CH}}$と，${|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{HI}}\right|}^2$の値を求めなさい．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AJ}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{JB}}\right|$のとき，$r$を求めなさい．

(3)　$r=2$のとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|$の値を求めなさい．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　実数$a$が$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたすならば，$2$つの放物線$y=x^2$と$y=-{(x-a)}^2+(a^3-2a+1)$は$2$点で交わることを証明しなさい．

(2)　実数$a$が$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲を動くとする．$2$つの放物線$y=x^2$と$y=-{(x-a)}^2+(a^3-2a+1)$で囲まれた図形の面積が最大となるときの$a$の値を求めなさい．