2009　埼玉大学　前期(理学部(数学科))MathJax

【１】　$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$とおく．

(1)　行列$P=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{（}ad-bc=1\text{）}$に対し，

$\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right)=PA{P}^{-1}$

とおく．$a^{\prime }\text{，}{b}^{\prime }\text{，}{c}^{\prime }\text{，}{d}^{\prime }$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて表し，$a^{\prime }{d}^{\prime }-b^{\prime }{c}^{\prime }=1$となることを示せ．

(2)　$P_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$として，行列$P_n$を

$P_{n+1}=P_{n}A{P_n}^{-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，行列$P_n$を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　実数$x\text{（}x>0\text{）}$と実数$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$が

$x\sin \theta -\cos \theta =0$

を満たすとき，$\sin \theta \text{，}\cos \theta$を$x$を用いて表せ．

(2)　関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}|x\sin t-\cos t|dt\text{（}x>0\text{）}$

の最小値を求めよ．

【３】　$xy$平面において$2$つの曲線

• $C_1:x^2+y^2=1$
• $C_2:y=2\sqrt{x-1}\text{（}x\geqq 1\text{）}$

を考える．次に，$C_2$の点$(a,2\sqrt{a-1})$における接線を$l$とする．ただし，$a=1$のとき，接線$l$は直線$x=1$とする．

(1)　接線$l$と円$C_1$が共有点をもつような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，接線$l$と円$C_1$の共有点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．ただし，共有点が$1$点の場合は$\mathrm{P}=\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡$C$の方程式を求めよ．

(3)　軌跡$C$と円$C_1$に囲まれ，点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を含む図形の面積を求めよ．