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2009-10221-0201
2009 埼玉大学 前期
理学部(数学科)
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 A=( 1 1 01 ) とおく.
(1) 行列 P= ( ab c d )( a⁢ d-b⁢ c=1 ) に対し,
( a′ b ′ c′ d ′ )= P⁢A ⁢P -1
とおく. a′ , b′ ,c ′, d′ を a , b ,c ,d を用いて表し, a′ ⁢d ′- b′ ⁢c′ =1 となることを示せ.
(2) P1= ( 10 -1 1 ) として,行列 P n を
Pn+ 1= Pn⁢ A⁢P n-1 ( n=1 , 2 ,3 ,⋯ )
で定める.このとき,行列 P n を求めよ.
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【2】 以下の問いに答えよ.
(1) 実数 x ( x> 0) と実数 θ ( 0<θ < π2 ) が
x⁢sin⁡ θ-cos⁡ θ=0
を満たすとき, sin⁡θ , cos⁡θ を x を用いて表せ.
(2) 関数
f⁡(x )= ∫0 π 2⁡ |x⁢ sin⁡t- cos⁡t | ⁢dt ( x> 0)
の最小値を求めよ.
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配点40点
【3】 xy 平面において 2 つの曲線
を考える.次に, C2 の点 (a, 2⁢a -1 ) における接線を l とする.ただし, a=1 のとき,接線 l は直線 x =1 とする.
(1) 接線 l と円 C 1 が共有点をもつような a の範囲を求めよ.
(2) a が(1)で求めた範囲にあるとき,接線 l と円 C 1 の共有点を P , Q とする.ただし,共有点が 1 点の場合は P= Q とする.このとき,線分 PQ の中点 M の軌跡 C の方程式を求めよ.
(3) 軌跡 C と円 C 1 に囲まれ,点 ( 0, 12 ) を含む図形の面積を求めよ.