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2009-10221-0301
2009 埼玉大学 前期
工学部(機械工、電気電子システム工、情報システム工、
機能材料工、建設工学科)
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) f⁡(x )=( ex+ e-x )⁢sin ⁡x とおくとき, f″ ⁡( x)= 0 となる x を求めよ.
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(2) g⁡(x )= x3 ⁢(x +2) (x +1) 5 ( x>0 ) とおくとき, g′ ⁡(x )g ⁡(x ) を求めよ.
2009-10221-0303
【2】 a は 0< a<2 を満たす実数とする. 3 つの不等式
y≧x 2 ,y≦ -x2 +4⁢ x, 0≦x≦ a
の表す領域を D とする.点 (x, y) が D 上を動くとき, y-x の最大値を M ⁡(a ), 最小値を m ⁡(a ) と定める.さらに f ⁡(a) =M⁡ (a)- m⁡(a ) とおく.
(1) M⁡(a ) を求めよ.
(2) m⁡(a ) を求めよ.
(3) 関数 b= f⁡(a ) のグラフを ab 平面上に図示せよ.
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【3】 AB=8 , AC=3 , cos⁡∠ BAC=- 1 6 である ▵ ABC を考え, b→ =AB → ,c →= AC→ とおく.
(1) ∠BAC の 2 等分線と辺 BC との交点を P とするとき, AP→ を b→ , c→ を用いて表せ.
(2) ▵ABC の内心を Q とするとき, AQ→ を b → ,c → を用いて表せ.
(3) ▵ABC の内接円の半径を求めよ.
2009-10221-0305
【4】 1 ,3 , 32 , ⋯ ,3 k ( k=1 , 2 ,3 , ⋯ ) を順番に並べて得られる数列
1, 3, 1, 3, 32 , 1, 3, 32 , 33 , 1, 3, 32 , 33 , 34 , ⋯
について,次の問いに答えよ.
(1) 21 回目に表れる 1 は第何項か.
(2) 初項から第 n 項までの和を S n とするとき, Sn≦ 555 を満たす最大の n を求めよ.
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【5】 次の問いに答えよ.
(1) 定積分 ∫01 ⁡ t 21+ t2 ⁢d x を求めよ.
(2) 不等式
x2+ y2+ log⁡( 1+z 2)≦ log⁡2
の定める立体の体積を求めよ.