2009　埼玉大学　後期理・工学部MathJax

【１】　$2$次の正方行列$A$は$2$次の単位行列$E$の実数倍でないとし，$A^2=2A-E$を満たすとする．

(1)　$A$の逆行列$A^{-1}$を$A$と$E$を用いて表せ．

(2)　${(A^{-1})}^n=a_{n}A+b_{n}E\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

【２】　$1$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれたカードをそれぞれ$2$枚用意する．この$10$枚のカードの中から$6$枚のカードを同時に引き，その中で最大の数を$X$とする．

(1)　$X=4$となる確率を求めよ．

(2)　$X$の期待値を求めよ．

【３】　$xy$平面上の曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．

(1)　点$(a,{\displaystyle \frac{3}{4a}})\text{（}a>0\text{）}$から曲線$C$に引いた$2$本の接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた$2$本の接線と曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$n$を自然数とする．$x>0$に対し，

$f(x)={\displaystyle \frac{{(\log x)}^n}{x^2}}$

とおく．次の問いに答えよ．必要ならば，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$であること，および，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots$であることを用いてよい．

(1)　方程式$f^{\prime }(x)=0$の解を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=1$の異なる解の個数を求めよ．