2009　千葉大学　前期MathJax

【１】　放物線$y=x^2\cdots \text{①}$と直線$y=x\cdots \text{②}$について次の問いに答えよ．

(1)　放物線$\text{①}$上の点$\mathrm{P}$に対し，直線$\text{②}$上の点であって$\mathrm{P}$に最も近い点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$2$点間の距離$\mathrm{PQ}$を$t$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた$t$の関数を$f(t)$とするとき，$f(t)$のグラフをかけ．

(3)　(2)の関数$f(x)$について$f(t)=\sqrt{2}$となる$t$の値を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形とする．$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}B$とおく．$A=30°$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　頂点$\mathrm{A}$から対辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．ただし，$\mathrm{H}$は辺$\mathrm{BC}$上の点である．このとき${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{BC}}}$の値を求めよ．

(2)　$\sin \left({\displaystyle \frac{A}{2}}\right)\cos B$の値を求めよ．

【３】　自然数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は

$c=4a+7b\text{，}d=3a+4b$

を満たしているものとする．

(1)　$c+3d$が$5$の倍数ならば$2a+b$も$5$の倍数であることを示せ．

(2)　$a$と$b$が互いに素で，$c$と$d$がどちらも素数$p$の倍数ならば，$p=5$であることを示せ．ただし，$2$つの自然数が互いに素とは，$1$以外の正の公約数をもたないことをいう．

【４】　$1$から$9$までの番号をつけた$9$枚のカードがある．このなかから無作為に$4$枚のカードを同時に取り出し，カードに書かれた$4$つの番号の積を$X$とおく．

(1)　$X$が$5$の倍数になる確率を求めよ．

(2)　$X$が$10$の倍数になる確率を求めよ．

(3)　$X$が$6$の倍数になる確率を求めよ．

【５】　座標平面上に点$\mathrm{A}(3,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2)$を取る．線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を取り，$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PH}\text{，}\mathrm{A}$と$\mathrm{H}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし点$\mathrm{H}$は$x$軸上の点とし，また$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$と異なるものとする．$\mathrm{O}$を原点とし$▵\mathrm{OPM}$を$\mathrm{O}$を中心に座標平面内で$1$回転するとき，通過する点全体が作る円の面積が最小となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【６】　$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k$を$1\leqq k\leqq n$を満たす自然数とするとき，

${\left({\displaystyle \frac{n}{k}}\right)}^k\leqq {}_{n}C_k\leqq {\displaystyle \frac{n^k}{2^{k-1}}}$

が成り立つことを示せ．ただし${}_{n}C_k$は二項係数である．

(2)　不等式

${\displaystyle \frac{1}{2^n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\left({\displaystyle \frac{n}{k}}\right)}^k<1$

が成り立つことを示せ．

(3)　不等式

${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n<3$

が成り立つことを示せ．

【７】　$a$と$k$を正の実数とする．$y={\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2$のグラフを平行移動して得られる放物線$C_1$と$y=-{\displaystyle \frac{2}{a}}{x}^2$のグラフを平行移動して得られる放物線$C_2$が，ともに原点$\mathrm{O}(0,0)$で直線$y=kx$に接するものとする．原点$\mathrm{O}$を通り，直線$y=kx$に垂直な直線を$l$とする．放物線$C_1$と直線$l$によって囲まれる図形の面積を$S_1\text{，}$放物線$C_2$と直線$l$によって囲まれる図形の面積を$S_2$とおき，$S=S_1+S_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S$を$a$と$k$を用いて表せ．

(2)　$k=\sqrt{2}-1$とする．$S$を最小にする$a$の値と，そのときの$S$の値を求めよ．

【８】　$1$から$9$までの番号をつけた$9$枚のカードがある．このなかから無作為に$4$枚のカードを同時に取り出し，カードに書かれた$4$つの番号の積を$X$とおく．

(1)　$X$が$5$の倍数になる確率を求めよ．

(2)　$X$が$12$の倍数になる確率を求めよ．

(3)　$X$が平方数になる確率を求めよ．ただし，$X$が平方数であるとは，ある自然数$n$を用いて$X=n^2$と表されることである．

【９】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$とし，また実数$a\text{，}b$について$g(x)=e^{-ax+b}$とおく．ただし，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$において常に$f(x)\geqq g(x)$が成り立つために$a\text{，}b$が満たすべき条件を求めよ．

(2)　$y=g(x)$のグラフが点$(1,1)$で$y=f(x)$のグラフと接するように$a\text{，}b$を定めたときの$g(x)$を$g_1(x)$とする．同様に$y=g(x)$のグラフが点$(2,{\displaystyle \frac{1}{2}})$で$y=f(x)$のグラフと接するように$a\text{，}b$を定めたときの$g(x)$を$g_2(x)$とする．このとき，$y=g_1(x)$と$y=g_2(x)$の交点を求めよ．

(3)　(2)で定めた$y=g_1(x)\text{，}y=g_2(x)$と$y=f(x)$の$3$つの曲線で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１０】　次の問いに答えよ．

(1)　置換$x={\tan }^3\theta$により，定積分${\displaystyle {\int }_1^{3\sqrt{3}}}(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt[3]{x^2}}})dx$を求めよ．

(2)　$t>1$に対して$g(t)={\displaystyle {\int }_1^t}{\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt[3]{x^2}}}dx$と定める．$t\to \infty$のとき$g(t)-a{t}^b$が収束するような正の実数$a\text{，}b$を求めよ．

【１１】　次の問いに答えよ．

(1)　$5$以上の素数は，ある自然数$n$を用いて$6n+1$または$6n-1$の形で表されることを示せ．

(2)　$N$を自然数とする．$6N-1$は，$6n-1$（$n$は自然数）の形で表される素数を約数にもつことを示せ．

(3)　$6n-1$（$n$は自然数）の形で表される素数は無限に多く存在することを示せ．

【１２】　$a$を実数とするとき，関数

$f(x)=x+a^2-2\text{，}g(x)=x(x-a)(x-a-2)$

について，次の問いに答えよ．

(1)　命題「$f(x)\geqq 0⟹g(x)\geqq 0$」がすべての実数$x$について成り立つために$a$が満たすべき条件を求めよ．

(2)　命題「$x\geqq 0⟹$「$f(x)\geqq 0$または$g(x)\geqq 0$」がすべての実数$x$について成り立つために$a$が満たすべき条件を求めよ．

志望別問題選択一覧

教育学部

　算数科選修　【１】，【２】，【３】，【４】

　理科教育分野，技術科教育分野　【２】，【３】，【４】，【５】

　情報教育分野　【２】，【３】，【６】，【７】

　数学科教育分野　【２】，【３】，【５】，【６】，【７】，【８】

文学部　行動科学科　【２】，【４】，【６】，【７】

法経学部　【２】，【４】，【６】，【７】

園芸学部　【２】，【３】，【６】，【７】

理学部

　生物学科，地球科学科　【３】，【４】，【５】，【６】，【９】

　物理学科，化学科　【５】，【６】，【８】，【９】，【10】

　数学・情報数理学科　【５】，【６】，【８】，【９】，【10】，【12】

薬学部　【５】，【６】，【８】，【９】，【10】

工学部

　建築学科，都市環境システム学科，デザイン学科

　　【３】，【４】，【５】，【６】，【９】

　機械工学科，メディカルシステム工学科，電気電子工学科，

　ナノサイエンス学科，共生応用化学科，画像科学科，情報画像学科

　　【５】，【６】，【８】，【９】，【10】

先進科学プログラム　【５】，【６】，【８】，【９】，【10】

医学部　【５】，【８】，【10】，【11】，【12】