2009　千葉大学　先進科学プログラム12月MathJax

【１】　$x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$のとき，${\displaystyle \frac{x^8-1}{x^4}}$の値を求めなさい．

【２】　$f(n)=A\cos n\theta$がすべての整数$n$に対して，条件

• $f(-1)=1$
• $f(n+1)+f(n)+f(n-1)=0$

を満たす定数$A$および$\theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$を求めなさい．

【３】　放物線$y=a{x}^2+bx+c$と直線$y=mx+n$が異なる$2$点で交わっており，その交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．この放物線と直線が囲む面積を$a\text{，}\alpha \text{，}\beta$を用いて表しなさい．

【４】　$3$次元空間の$3$点$\mathrm{A}(2,3,1)\text{，}\mathrm{B}(3,5,0)\text{，}\mathrm{C}(0,4,0)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．

【５】　$2$種類のくじ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，当たりの出る確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}$である．くじで当たりが出た場合，その次に引くくじは$\mathrm{A}$を選び，はずれが出た場合，その次に引くくじは$\mathrm{B}$を選ぶものとする．このくじを$n$回目に引いたときに当たりの出る確率を$P_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$P_n$と$P_{n+1}$の関係式を求めなさい．

(2)　$P_1$を用いて$P_n$を表しなさい．