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2009-10241-0301
2009 千葉大学 後期理学部
数学・情報数理学科
易□ 並□ 難□
【1】 ▵ABC において, AB=2 , BC=1 , CA= 3 であるとする. ▵ ABC の外側に 3 つの正三角形 ▵ PAB ,▵ QBC ,▵ RCA を描く.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 3 直線 AQ ,BR , CP が 1 点 S で交わることを示せ.
(2) 面積の比 ▵ ABS:▵BCS :▵CAS を求めよ.
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【2】 p を素数, n を 2 以上の自然数とするとき,方程式
xn -pn ⁢x- pn+1 =0
は整数解を持たないことを証明せよ.
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【3】 s を実数とする.
A=( 10 3 32 ) ,X = 110 ⁢( 93 3 1 ), Y= 110⁢ ( s-3 -3 9 )
について, A=a⁢ X+b⁢ Y を満たす実数 a , b が存在するものとする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) a ,b および s を求めよ.
(2) A2 =c⁢X +d⁢Y を満たす実数 c , d を求めよ.
(3) 自然数 n に対して, An を求めよ.
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【4】 α を 0 でない実数とする.曲線 y =cos⁡α ⁢x と y =cos⁡x が一致するかあるいは ( x,y) =(0 ,1) 以外の点で接するための必要十分条件は, α が有理数であることを証明せよ.
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【5】 曲線 y =x4 -6⁢ x2 上の 4 つの異なる点における接線が,いずれも点 ( α,β ) を通るとする.このとき ( α,β ) の範囲を求め,図示せよ.ただし, α>0 とする.
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【6】 袋のなかに 1 から 9 までの番号が 1 つずつ付けられた同じ大きさの 9 個の球が入っている.この袋から 4 個の球を同時に取り出して,球の番号を小さい順に左から並べて 4 桁の数を作り,それを X とおく.
(1) X>4000 となる確率を求めよ.
(2) X が偶数である確率を求めよ.
(3) 自然数 N で, X>N となる確率が 12 となるものを求めよ.