2009　千葉大学　後期理学部数学・情報数理学科MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=1\text{，}\mathrm{CA}=\sqrt{3}$であるとする．$▵\mathrm{ABC}$の外側に$3$つの正三角形$▵\mathrm{PAB}\text{，}▵\mathrm{QBC}\text{，}▵\mathrm{RCA}$を描く．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$3$直線$\mathrm{AQ}\text{，}\mathrm{BR}\text{，}\mathrm{CP}$が$1$点$\mathrm{S}$で交わることを示せ．

(2)　面積の比$▵\mathrm{ABS}:▵\mathrm{BCS}:▵\mathrm{CAS}$を求めよ．

【２】　$p$を素数，$n$を$2$以上の自然数とするとき，方程式

$x^n-p^{n}x-p^{n+1}=0$

は整数解を持たないことを証明せよ．

【３】　$s$を実数とする．

$A=\left(\begin{array}{cc}10& 3\\ 3& 2\end{array}\right)\text{，}X={\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{cc}9& 3\\ 3& 1\end{array}\right)\text{，}Y={\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{cc}s& -3\\ -3& 9\end{array}\right)$

について，$A=aX+bY$を満たす実数$a\text{，}b$が存在するものとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$および$s$を求めよ．

(2)　$A^2=cX+dY$を満たす実数$c\text{，}d$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

【４】　$\alpha$を$0$でない実数とする．曲線$y=\cos \alpha x$と$y=\cos x$が一致するかあるいは$(x,y)=(0,1)$以外の点で接するための必要十分条件は，$\alpha$が有理数であることを証明せよ．

【５】　曲線$y=x^4-6x^2$上の$4$つの異なる点における接線が，いずれも点$(\alpha ,\beta )$を通るとする．このとき$(\alpha ,\beta )$の範囲を求め，図示せよ．ただし，$\alpha >0$とする．

【６】　袋のなかに$1$から$9$までの番号が$1$つずつ付けられた同じ大きさの$9$個の球が入っている．この袋から$4$個の球を同時に取り出して，球の番号を小さい順に左から並べて$4$桁の数を作り，それを$X$とおく．

(1)　$X>4000$となる確率を求めよ．

(2)　$X$が偶数である確率を求めよ．

(3)　自然数$N$で，$X>N$となる確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$となるものを求めよ．