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2009-10241-0401
2009 千葉大学 後期医学部医学科
総合テストの一部
易□ 並□ 難□
【3A】 次の問いに答えよ.
(1) 1 より小さい 4 つの正の数 x1 ,x 2 ,y 1 ,y2 について,不等式
|x 1⁢x 2-y 1⁢y 2| ≦| x1- y1| +|x 2-y 2|
が成り立つことを証明せよ.また,等号が成立するための必要十分条件を求めよ.
(2) n を 2 以上の自然数とし, x1 , ⋯ ,x n ,y 1 ,⋯ , yn をいずれも 1 より小さい正の数とする. x1 , ⋯ ,xn の積を Xn ,y 1 ,⋯ , yn の積を Y n により表すとき,不等式
| Xn- Yn |≦ ∑ i=1 n |xi -yi |
2009-10241-0402
【3B】 関数 f ⁡(x )= x3-3 ⁢x2 +3⁢x を考える.
(1) 原点を通る直線で,曲線 y =f⁡ (x ) と原点以外で接するものを求めよ.
(2) t を 0 以上の実数とするとき,関数 F ⁡(x )=t ⁢x-f ⁡(x ) の x ≧0 における最大値を t を用いて表せ.
(3) (2)で求めた値を g ⁡(t ) とおく. z を 0 以上の実数とするとき,関数 G ⁡(t )=z ⁢t-g ⁡(t ) の t ≧0 における最大値を z を用いて表せ.